Zeigen Sie anhand der Definition, dass f in 1 differenzierbar ist und bestimmen Sie f'(1).

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion \( f:(0,2) \rightarrow \mathbb{R} \),

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{(x-1)^{2}}{\sin (\pi x)}, & x \neq 1 \\ 0, & x=1 \end{array}\right. \)

Zeigen Sie anhand der Definition, dass \( f \) in 1 differenzierbar ist und bestimmen Sie \( f^{\prime}(1) \).

Ansatz/Problem:

Komme immer auf: lim x~1 (0-0)/(x-0)=0

Answer 1

Hi,
der Differenzenquotient für \( x_0 = 1 \) sieht so aus
$$ \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0) }{ h } = \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0) }{ h } = \frac{ f(1 + h) - 0 }{ h } = \frac{ \frac{h^2}{sin[\pi (1+h)]} }{ h } = \frac{h}{sin[\pi (1+h)} $$
Mit l'Hospital folgt

$$   \lim_{h\to 0} \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0) }{ h }  = \frac{1}{cos(\pi)\pi} = -\frac{1}{\pi} $$
Und das sieht dann so aus, wobei der blaue Graf die Steigung im Punkt \( x = 1 \) beschreibt.

Answer 2

Für x=1 werden sowohl Zähler als auch Nenner zu Null.

Also gib de l'Hôpital eine Chance ...

Comments

Okay..Da war mein Fehler danke :)