Bestimmen Sie, unter Verwendung der Definition 4.1, die Punkte x_{0} ∈ ℝ wo f differenzierbar ist zusammen mit …

Question

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Übungsaufgabe \( 12.3 \) (4P) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben duch \( f(x)=\left|x^{2}-1\right| \). Bestimmen Sie, unter Verwendung der Definition 4.1, die Punkte \( x_{0} \in \mathbb{R} \) wo \( f \) differenzierbar ist zusammen mit \( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \).

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4.1 Differenzierbare Funktionen
Definition 4.1. Sie \( D \subset \mathbb{R} \) und \( x_{0} \in D \cap D^{\prime} \). Eine Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) heißt differenzierbar (diff'bar) in \( x_{0} \), falls
\( \exists \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=: f^{\prime}\left(x_{0}\right)=: \frac{d f}{d x}\left(x_{0}\right) \in \mathbb{R} . \)
\( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \) heißt Ableitung von \( f \) in \( x_{0} \).
Ist \( f \) diff 'bar in jedem Punkt \( x_{0} \in D \cap D^{\prime} \), so heißt \( f \) diff'bar (in \( D \cap D^{\prime} \) ).

Übungsaufgabe \( 12.3 \) (4P) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben duch \( f(x)=\left|x^{2}-1\right| \). Bestimmen Sie, unter Verwendung der Definition 4.1, die Punkte \( x_{0} \in \mathbb{R} \) wo \( f \) differenzierbar ist zusammen mit \( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \).

Answer 1

Da musst du wohl Fallunterscheidungen machen.

1. Fall: x_o>1 oder x_o<-1, da gilt in einer hinreichend

kleinen Umgebung von x_o und nur das brauchst du ja

für den Grenzwert f(x)=x^2 - 1 und f(x_o)=x_o^2 - 1

Und also ist \(  \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} =  \frac{x^2 - 1 -(x_0^2-1)}{x-x_{0}} =  \frac{x^2 -x_0^2}{x-x_{0}} \)

\(  =  \frac{(x -x_0)(x +x_0)}{x-x_{0}} = x +x_0  \)

Also  \(  \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=2x_0 = f^{\prime}\left(x_{0}\right). \)

2. Fall: Für x_o>1 oder x_o<-1 analog mit f(x)=1-xo^2 ergibt sich f'(x_o)=-2x_o

3. Fall: An den Stellen x_o=1 und x_o=-1 existieren die Grenzwerte nicht,

da ist f also nicht differenzierbar.