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Aufgabe 3 1. Bestimmen Sie für die 5×5 5 \times 5 -Matrix
A5=(1111111111111111111111111) A_{5}=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)
mit möglichst wenig Rechenaufwand eine Basis von ker(A5) \operatorname{ker}\left(A_{5}\right) .


2. Finden Sie einen Vektor v5R5 \mathbf{v}_{5} \in \mathbb{R}^{5} mit A5v5=cv5 A_{5} \mathbf{v}_{5}=c \cdot \mathbf{v}_{5} für ein c0 c \neq 0 .

3. Geben Sie eine Basis v1,,v5 \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{5} von R5 \mathbb{R}^{5} an, so dass
eine Diagonalmatrix ist, d.h. di,j=0 d_{i, j}=0 falls ij i \neq j .


4. Bestimmen Sie
vMatv(A5tE5)=vMatv((1t111111t111111t111111t111111t)) \underline{\mathbf{v}} \operatorname{Mat}_{\underline{\mathbf{v}}}\left(A_{5}-t E_{5}\right)={ }_{\mathbf{v}} \operatorname{Mat}_{\underline{\mathbf{v}}}\left(\left(\begin{array}{ccccc} 1-t & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-t & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1-t & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-t & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1-t \end{array}\right)\right)

und det(A5tE5) \operatorname{det}\left(A_{5}-t E_{5}\right)

5. Für welche Werte von t t hat das Gleichungssystem A5v= A_{5} \mathbf{v}= tv eine Lösung v0 \mathbf{v} \neq 0 ?


Kann mir jemand helfen die Aufgabenbereiche 3-5 zu lösen?

Avatar von

Hallo

bei 3 fehlt was nach dass??

und  in 4 was bedeutet vMatv

5)  hast du schon in 2 ein t gefunden

Gruß lul  



1 Antwort

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Fang mal besser mit 4 an.

det(A5tE5)=t4(t5) \operatorname{det}\left(A_{5}-t E_{5}\right) = -t^4 \cdot(t-5)

und in 5 sind dann die Lösungen (Eigenwerte) von

det(A5tE5)=t4(t5)=0 \operatorname{det}\left(A_{5}-t E_{5}\right) = -t^4 \cdot(t-5) = 0

gesucht, also 0 und 5.

Dann ist eine Basis von Eigenvektoren z.B.

(10001),(10010),(10100),(11000),(11111) \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1\\1 \end{pmatrix}

Die ersten sind zum Eigenwert 0 und der letzte zu 5, also ist die

in 3 gesuchte Matrix (Das ist wohl die bzgl. der Basis aus Eigenvektoren)

(0000000000000000000000005) \left(\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right)

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