Aufgabe:
Überprüfe die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) auf Diagonalisierbarkeit, berechne die Eigenwerte und deren Eigenvektoren, erstelle die S-Matrix (nxn-Matrix der Eigenvektoren als Spaltenvektoren) und deren Inverse S-1.
Problem/Ansatz:
Ich habe die Aufgabe soweit fertig gerechnet und als S habe ich \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) rausbekommen. Laut meinen Lösungen stimmt das. Die Inverse ist die Einheitsmatrix, das stimmt auch. Beim Diagonalisieren rechne ich jetzt nach der Formel D = S-1 * A * S bzw. A * S, weil E ja die Einheitsmatrix ist. Das Ergebnis ist D = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \). Das ist laut meinen Lösungen falsch, korrekt wäre \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Was genau mache ich falsch? Alle Zwischenergebnisse stimmen ja.