Diagonalmatrix falsch obwohl alle Zwischenergebnisse stimmen?

Question

Aufgabe:

Überprüfe die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) auf Diagonalisierbarkeit, berechne die Eigenwerte und deren Eigenvektoren, erstelle die S-Matrix (nxn-Matrix der Eigenvektoren als Spaltenvektoren) und deren Inverse S^-1.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe soweit fertig gerechnet und als S habe ich \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) rausbekommen. Laut meinen Lösungen stimmt das. Die Inverse ist die Einheitsmatrix, das stimmt auch. Beim Diagonalisieren rechne ich jetzt nach der Formel D = S^-1 * A * S bzw. A * S, weil E ja die Einheitsmatrix ist. Das Ergebnis ist D = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \). Das ist laut meinen Lösungen falsch, korrekt wäre \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Was genau mache ich falsch? Alle Zwischenergebnisse stimmen ja.

Answer 1

Deine S^-1Matrix ist wohl falsch. Die korrekte Inverse von S wäre \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \)

Answer 2

>Die Inverse ist die Einheitsmatrix? <

Was soll uns das sagen?

D enthält die Eigenwerte auf der Diagonalen!

Da geht einiges durcheinander da oben:

https://www.geogebra.org/cas?command=JordanDiagonalization({{1,0,%20-2},%20{0,%201,%20-2},%20{0,0,%20-1}})

Answer 3

Aloha :)

Du hast die Eigenvektoren richtig berechnet und in die Matrix \(S\) eingetragen.

Zur Berechnung der Inversen \(S^{-1}\) schreibst du links die Matrix \(S\) auf und rechts davon eine gleich große Einheitsmatrix. Dann bringst du die linke Matrix durch elementare Gauß-Umformungen auf die Gestalt der Einheitsmatrix und führst die dazu nötigen Schritte auch bei der rechten Matrix durch. Am Ende steht rechts die Inverse.

$$\begin{array}{rrr|rrr|l}1 & 0 & 1  &  1 & 0 & 0 & -\text{Zeile 3}\\0 & 1 & 1  &  0 & 1 & 0 &-\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1  &  0 & 0 & 1 &\\\hline1 & 0 & 0  & 1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0  &  0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1  &  0 & 0 & 1\end{array}$$

Wir finden also:$$S=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad S^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Damit erhältst du dann die gewünschte Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonaeln:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B1%2C0%2C-1%7D%2C%7B0%2C1%2C-1%7D%2C%7B0%2C0%2C1%7D%7D+*+%7B%7B1%2C0%2C-2%7D%2C%7B0%2C1%2C-2%7D%2C%7B0%2C0%2C-1%7D%7D+*+%7B%7B1%2C0%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C1%7D%2C%7B0%2C0%2C1%7D%7D