2^{n-1} (a^n + b^n) > (a+b)^n

Question

ich versuche gerade bei einer vollständigen Induktion von:

$$2^{n-1}(a^n+b^n)\gt (a+b)^n$$

beim Induktionsschluss umzuformen, weiß aber nicht weiter wie ich es umformen kann.
Ausgehend von folgendem "Folgeschritt":

$$2^n(a^{n+1}+b^{n+1})\gt (a+b)^{n+1}$$

wollte ich erst einmal alle n+1 herausziehen um auf die "alte" Form zu kommen, um meine Annahme einzubauen, habe auch nun ein paar Wege ausprobiert.
1) 2ⁿ * a⁽ⁿ⁺¹⁾ + 2ⁿ + b⁽ⁿ⁺¹⁾ > (a+b)ⁿ (a+b)

2) 2^(n-1) (a⁽ⁿ⁺¹⁾ + b⁽ⁿ⁺¹⁾) * 2 > (a+b)ⁿ (a+b)

3) a⁽ⁿ⁺¹⁾ + b⁽ⁿ⁺¹⁾ > (a+b)⁽ⁿ⁺¹⁾ / 2ⁿ

aber irgendwie bekomm ich bei keiner der Varianten bei a⁽ⁿ⁺¹⁾ + b⁽ⁿ⁺¹⁾ diesen +1en Teil heraus,
also das a und b bei: aⁿ a + bⁿ * b

Im Moment habe ich folgendes gemacht (das bisher weiteste, insofern es richtig ist)
2ⁿ (a⁽ⁿ⁺¹⁾ + b⁽ⁿ⁺¹⁾)
<=> 2ⁿ (aⁿ + bⁿ)(a+b) -aⁿb -bⁿa)
<=> 2^n-1 (aⁿ + bⁿ)(a+b) -aⁿb -bⁿa) 2
<=> (2^n-1 (aⁿ + bⁿ)(a+b) -2^n-1(aⁿb + bⁿa)) 2
dann die Induktionsannahme eingesetzt
 >  ((a+b)ⁿ (a+b) -2^n-1(aⁿb + bⁿa)) 2
<=> ((a+b)ⁿ⁺¹ -2^n-1(aⁿb + bⁿa)) 2 >(?) (a+b)ⁿ⁺¹
<=> 2(a+b)ⁿ⁺¹ -2ⁿ(aⁿb + bⁿa) >(?) (a+b)ⁿ⁺¹
<=> (a+b)ⁿ⁺¹ -2ⁿ(aⁿb + bⁿa) >(?) 0
<=> (a+b)ⁿ⁺¹ >(?) 2ⁿ(aⁿb + bⁿa)

Aber nun weiß ich nicht mehr weiter, kann leider auch nicht erkennen ob das nun schon wirklich größer ist als die rechte Seite.. :(

Answer 1

2^{n + 1 - 1}·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)^{n + 1}

2^n·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)·(a + b)^n

2^n·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)·2^{n - 1}·(a^n + b^n)

2·(a^{n + 1} + b^{n + 1}) ≥ (a + b)·(a^n + b^n)

2·a^{n + 1} + 2·b^{n + 1} ≥ a^{n + 1} + b·a^n + a·b^n + b^{n + 1}

a^{n + 1} + b^{n + 1} ≥ b·a^n + a·b^n

a·a^n + b·b^n ≥ b·a^n + a·b^n

(a - b)·a^n ≥ (a - b)·b^n

für a > b --> a^n ≥ b^n

für a < b --> a^n ≤ b^n

Comments

vielen Dank... das hätte ich nie herausgefunden. x_x