Die Ordnung auf den reellen Zahlen ist verträglich mit der Multiplikation. Das heißt sind a,b,c > 0, dann gilt
(1) a < b ⇒ ac < bc.
Wählt man c = a in (1), dann gilt auch
(2) a < b ⇒ a² < ba.
Wählt man c = b in (1), dann gilt auch
(3) a < b ⇒ ab < b².
Also folgt aus (2) und (3) wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation
(4) a < b ⇒ a² < ba = ab < b².
Wegen der Transitivität von < folgt aus (4)
a < b ⇒ a² < b².
Angenommen, es sollte mit der Vollständigen Induktion bewiesen werden,
Angesichts der Tatsache, dass du jetzt die Behauptung auf a < b ⇒ an < bn geändert hast, kannst du eine ähnliche wie die von mir dargelegte Argumentation für den Induktionsschritt verwenden.