Wie beweist man 7^n+n<8^n mit vollständiger Induktion

Question

Wie geht der Beweis mit vollständiger Induktion :( ich komm nicht weiter

Es gilt n Element der natürlichen Zahlen und

7^n+n<8^n

Comments

Du kannst erstmal mit dem Induktionsanfang anfangen, also z.B. zeigen, dass die Aussage gilt für n=2.

Dann machst du eine anahme für ein $$ k ∈ ℕ $$ und zeigst für k+1.

Answer 1

Induktionsverfahren:
1. Anfang:
$$ n=2 ⇒7^n+n=7^2+2=51<8^n=8^2=64 $$
wahr.
2. Schritt:
Nehme an, Aussage sei wahr für $$ k>2∈ℕ $$
$$ ⇒7^k+k<8^k $$
$$ 8*7^k+8k<8^{k+1}=8*8^k $$
$$ 7^{k+1}+(k+1)=7*7^k+(k+1)<8(7^k+k) $$
Also ist dann auch $$ 7^{k+1}+(k+1)<8^{k+1} $$
q.e.d.