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Beweis durch vollständige Induktion einer L-Matrix Struktur
Um die gegebene Aufgabe zu lösen, führen wir den Beweis mittels vollständiger Induktion durch. Die zu beweisende Struktur für \(L\) lautet:
\(L := L_1^{-1} L_2^{-1} \ldots L_{n-1}^{-1} = I + \tau_1 e_1^T + \tau_2 e_2^T + \ldots + \tau_{n-1} e_{n-1}^T\)
Die gegebene Definition von \(L_k\) ist:
\(L_k := I_n - \tau_k e_k^T\)
Zuerst klären wir das Basiswissen über Matrixoperationen und die speziellen Einheitsvektoren \(e_i\), die in der ganzen Dimension nur in der \(i\)-ten Position eine 1 aufweisen, ansonsten aber 0 sind.
Induktionsanfang:
Wir beginnen mit dem Induktionsanfang für \(n=1\). Dies bedeutet tatsächlich eine triviale Matrix, da keine Subtraktion stattfindet und nur die Einheitsmatrix \(I\) übrig bleibt. Für \(n=2\), \(L_1 = I_2 - \tau_1 e_1^T\) zeigt bereits die Einführung einer Modifikation von \(I\), die mit der Eigenschaft \(\tau_1 e_1^T\) verbunden ist.
Induktionsschritt:
Als nächsten Schritt wollen wir beweisen, dass wenn die Induktionsannahme für ein \(L_k = I_k - \tau_k e_k^T\) bis zum k-ten Schritt gilt, sie auch für \(L_{k+1}\) Gültigkeit besitzt.
\(L_{k+1} = L_1^{-1} L_2^{-1} \ldots L_k^{-1} L_{k+1}^{-1}\)
Unter Verwendung von \(L_k^{-1} = I_n + \tau_k e_k^T\), weil die Inverse von \(L_k\) durch Addition des Produkts statt Subtraktion gebildet wird (basiert auf der Annahme, dass \(\tau_k e_k^T\) klein genug ist, damit eine solche Inverse existiert).
Wir setzen jetzt die gegebene Eigenschaft ein:
\(\left(\tau_j e_j^T\right)\left(\tau_{k+1} e_{k+1}^T\right) = \tau_j\left(e_j^T \tau_{k+1}\right) e_{k+1}^T = 0\, \text{für}\, j = 1, \ldots, k\)
Dies impliziert, dass die Multiplikation zweier solcher Terme für unterschiedliche Indizes \(j\) und \(k+1\) immer 0 ergibt, was bedeutet, dass die Operationen, die \(L_{k+1}\) einbeziehen, die bisherige Struktur nicht stören, da sie orthogonal zu den vorherigen Änderungen stehen.
Zusammenbringen:
Indem wir systematisch durch diese Induktionsschritte gehen, zeigt sich, dass jeder Schritt \(L_k\) eine akkumulierte zusätzliche Struktur von \(I_n\) um \(\tau_k e_k^T\) modifiziert und die Multiplikation dieser Matrizen aufgrund der speziellen Konstruktion und der orthogonalen Eigenschaft der beteiligten Vektoren die endgültige Form von \(L\) unabhängig modifiziert, ohne die vorherigen Modifikationen konfliktiv zu beeinflussen. Daher resultiert \(L\) tatsächlich in der Summe der Einheitsmatrix und den sukzessiven Modifikationen über \(\tau_k e_k^T\) für \(k = 1\) bis \(n-1\), genau wie in der Aufgabenstellung formuliert.
Dies vervollständigt den Beweis durch vollständige Induktion für die L-Matrix Struktur wie angegeben.
