Vollständige-Induktion (a+b)^n >= a^n + b^n

Question

Aufgabe:

Nutzen sie vollständige Induktion, um die folgende Aussage zu beweisen: Seien a,b ∈ ℝ mit a,b >= 0. Dann gilt

∀n ∈ ℕ : (a+b)^n >= a^n +b^n.

Problem/Ansatz:

Habe bis jetzt:

IA: Für n=1

(a+b)^1 >= a^1 +b^1 = a+b >= a+b

IV: (a+b)^n >= a^n +b^n ist wahr

IS: (a+b)^n+1 >= a^n+1 +b^n+1 = (a+b)^n * (a+b) >= a^n *a +b^n *b

Wie mach ich jetzt weiter?

Answer 1

So etwa S: (a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)ⁿ * (a+b)

wegen IV und (a+b)≥0 gilt :

                              ≥ (aⁿ + bⁿ)(a+b)

                             = aⁿ⁺¹ + aⁿb + bⁿa + bⁿ⁺¹  ≥aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹  weil die

mittleren beiden Summanden nicht negativ sind.