Vollständige Induktion A(n): 2^n>n

Question

Hallo,

leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Ich verstehe nicht wie ich 2*2^n>n+1 umformen soll.

Aufgabe:
Beweisen Sie die Aussage \( \mathrm{A}(\mathrm{n}) \) mit vollständiger Induktion für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \)

A(n): 2^n>n

Ansatz:

\( \begin{array}{l}A(n): 2^{n}>n \quad n \in N_{0} \\ \text { IA: } 2^{0}>0=1>0 \\ \text { IV: } \quad \exists n \in \mathbb{N}_{0}: 2^{n}>n \\ \text { IS: } \quad n \rightarrow n+1 \\ 2^{n+1}>n+1 \\ 2^{n+1}=2 \cdot 2^{n}>2 n\end{array} \)

Answer 1

\(  \text { IS: } \quad n \rightarrow n+1 \\ Beh.:  2^{n+1}>n+1 \)

\(   Bew.: 2^{n+1}=2 \cdot 2^{n} >2 \cdot n = n+n  \ge n+1 \) Da n≥1.

Und n=1 kannst du ja auch noch mit in den IA packen.

Comments

Es gilt aber für \( n \in \mathbb{N}_{0} \), also mit der Zahl 0.

Und 0+0 ist nicht größer gleich 0+1

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Dann musst du eben die Aussage für n=0 separat "überprüfen" und den Induktionsbeweis bei n=1 beginnen.

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Daher mein Hinweis:

Ind.anfang mit n=0 und n=1 machen.

Also 2^0>0 und 2^1>1 prüfen. Die stimmen.

Dann kann man im IS von n≥1 ausgehen.