Wurzeln von charakteristischem Polynom in F_(7). k(T) = -T^3-7T^2+47T+19

Question

Ich habe mal eine Frage. Ich habe für Matrix A das charakteristische Polynom berechnet: -T^3-7T^2+47T+19

So, jetzt soll ich durch Probieren die Wurzeln finden. Damit sind doch die Nullstellen gemeint oder? Was genau soll ich jetzt machen bzw. Probieren? Muss ich jetzt für T 1-6 einsetzen wegen der Kongruenzklasse 7 oder?

Comments

Muss ich jetzt für T 1-6 einsetzen wegen der Kongruenzklasse 7 ?

Ja genau, das geht wohl am schnellsten.

-T³-7T²+47T+19 = 0

Wegen F_(7) , kannst du 

-T³+5T+5 = 0

nehmen.

---

Eigentlich müsstest du auch 0 einsetzen, aber in diesem Fall ist das keine Lösung.

---

Warum kann ich denn das verwenden und nicht einfach mit dem char Polynom rechnen?

---

Ach ich habe es verstanden, klar, 7 ist ja die kongruenzklasse. Dann muss ich aber erst T ausklammern, meine erste nullstelle ist dann ja 0 oder?

---

Ich verstehe gerade nur nicht genau wie ich weiermachen soll wenn ich die Zahlen einsetze.. ich muss ja auch erst T ausklammer wegen dem ^3 oder? Dann hätte ich doch eigentlich eine nullstelle bei 0, das stimmt beim zeichnen jedoch dann nicht :/

---

Du setzt einfach ein bei -T³+5T+5 = 0

etwa so:  T=1 gibt  - 1 + 5 + 5 = 0

9=0  stimmt nicht

T=2  gibt   -8 + 10 + 5 = 0

7 = 0   und das stimmt modulo 7

Also T=2 ist eine Lösung.  etc.  Übrigens 0 ist keine Lösung,

Das gäbe ja 5=0 und das ist auch mod 5 falsch.

---

Ganzzahlige Nullstellen gibt es nicht.
ungefähr
x = -0.4
x = 4.4

---

Nein. 0 passt nicht 5≠0.

Halte dich an mathefs Antwort.

---

Ih hab das jetzt raus verstehe aber nicht genau was nullstellen sind und warum :/

---

Nullstellen hast du nur, wenn eine Zahl rauskommt, die durch 7 teilbar ist.

Also 7 und -7

T1 = 2 und T2 = 1, wenn du richtig gerechnet hast.

---

Ach jetzt habe ich es verstanden, -7 UND 7 sind ja 0 in mod 7, also sind die nullstellen 2 und 3 oder? Mehr muss ich niht machen?

---

Nö, die anderen sind ja nicht kongruent zu 0

---

Somit ist die matrix A doch diagonalisierbar, da es ja zwei verschiedene eigenwerte gibt, stimmts?

---

Da brauchst du doch 3 Eigenvektoren.

Die musst du mal ausrechnen.

Vielleicht gehören ja zu einem der Eigenwerte 2 lin. un. Eigenvektoren

---

Soll ich dann mit -T^3+5T+5 eine polynomdivision durführen oder T ausklammern, um die Nullstellen auszurechnen?

---

Um Eigenvektoren zu bestimmen, musst du für jeden Eigenwert e

das Gleichungssystem

A - e*Einheitsmatrix = 0

lösen.

---

Das versuche ich scho  die ganze zeit aber es klappt nicht, ich habe ja -T^3+5T+5 und ich möchte ja die nullstellen ausrechnen. Ich kriege es nicht hin, ich weiss nicht wys ich machen soll :/

Answer 1

Wenn alles mod 7 ist, brauchst du nur die
7 verschiedenen Werte 0,1,...,6   , die es mod 7 gibt einzusetzen.
Besser ist sogar schon vorher aus

-x³-7x²+47x+19   einfach nur   -x^3  + 5x + 5 zu machen, denn das ist Mod 7 gleich.

und dann probierst du

x=1  gibt    -1 + 5 + 5 = 0

9=0  ist auch mod 7 falsch

aber  x=2   gibt   -8  + 10 + 5 = 0

7 = 0  und das stimmt mod 7

2 ist also eine Nullstelle.

etc.

Comments

Das hab ich jetzt raus aber verstehe noch nicht ganz was jetzt nulkstellen bzw. wurzeln sind und warum?

---

bei 2 und 3 hast du doch Werte raus, bei denen es stimmt:

7=0 und  -7=0  ist doch mod 7 richtig.

Also sind 2 und 3 die Nullstellen des Polynoms.