Question

Sei M ∈ lR^n×n eine Matrix mit charakteristischem Polynom

ΧM(x) = xⁿ +a_n−1xⁿ⁻¹ +...+ a₁x+a₀ ∈ lR[x] und a₀≠ 0.

a) Zeigen: M ist invertierbar;

b) Angeben: einen polynomialen Ausdruck für das Inverse von M. Bestimmen: geeignete b_m,...,b₀ ∈ R so dass M⁻¹ =b_mM^m+...+b₁M +b₀E_n gilt

c) Bestimmen:

das charakteristische Polynom X_M−1 von M⁻¹.

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Hi,
zu (a),

es gilt \( a_0 = (-1)^n\det(M) \). Eine Matrix ist invertierbar wenn gilt \( \det(M) \ne 0 \). Es gilt \( a_0 \ne 0 \) also ist \( M \) invertierbar.

\( a_0 = (-1)^n\det(M) \) folgt aus

\( \chi_M(\lambda) = \det ( \lambda I - M ) = \sum_{k=0}^n a_k \lambda^k \) und einsetzten von \( \lambda= 0 \), d.h.
$$ \chi_M(0) = \det(-M) = (-1)^n \det(M) = a_0 $$

zu (c)
$$ \chi_{M^{-1}}(\lambda) = \det (\lambda I - M^{-1} ) = \det \left[ -\lambda M^{-1} \left( \frac{1}{\lambda} I - M  \right) \right] = (-\lambda)^n \frac{\det\left(\frac{1}{\lambda} I - M\right) }{\det(M)} = \frac{\lambda^n}{a_0} \chi_M\left(\frac{1}{\lambda}\right) $$
D.h. man kann \( \chi_{M^{-1}} \) durch \( \chi_M \) berechnen.

Zu (b)
$$ \chi_M = \sum_{k=0}^n a_k \lambda^k $$ mit \( a_n = 1 \) und \( a_0 = (-1)^n\det(M) \)
wegen (c) gilt
$$ \chi_{M^{-1}} = \frac{\lambda^n}{a_0} \sum_{k=0}^n a_k \lambda^{-k} $$ also 
$$ \chi_{M^{-1}} = \sum_{k=0}^n b_k \lambda^{n-k} $$ mit
$$ b_k = \frac{a_k}{a_0} $$