Untersuche folgende Funktionen auf Symmetrie

Question

a)                                   f(x) = x^2+ cos (x) -7

b)                                  f(x)= ( x^3 - six (x) )    /    (x^2)

Answer 1

Du musst untersuchen ob \( f(x) = f(-x) \) gilt.

Comments

f(x) = x²+ cos (x) -7

Stimmt es, wenn ich so rechne?

f(-x) = -x^2 + cos(-x) -7

f(-x)= -x^2 + cos(x) -7

f(-x) = -f(x)              I*(-1)

-f(-x) = f(x)

Dann ist es punktsymmetrisch 

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Nein das ist falsch,

\( f(-x) = (-x)^2 + cos(-x) -7 = x^2 +cos(x) -7 = f(x) \) also ist \( f \) symmetrisch.

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(-x)^2 ist x^2 weil, wenn ich eine negative oder auch positive Zahl einsetzte kommt immer ein positives Ergebnis.

Aber warum ist cos(-x) im nächsten Schritt cos(x)? Warum wurd es positiv?

Wenn am Ende das Ergebnis f(-x) = f(x) ist, dann handelt es sich um eine achsensymmetrische Funktion?

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hier die Erklärung für \( cos(x) = cos(-x) \)

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Stimmt diese 

f(x)= ( x³ - six (x) )    /    (x²)

f(-x) = ( -x^3 - sin(-x)) / (-x^2)

f(-x) = (-x^3+sin(x)) / (-x^2)

f(-x) = -(x^3-sin(x)) / (-x^2)

f(-x) = -f(x) / - f(x)       -/- ist positiv

f(-x) = f(x)

Die Funktion ist punktsymmetrisch.

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Nee, Du setzt die Klammern falsch. Du muss einfach \( x \) durch \( -x \) ersetzten. Also z.B \( (-x)^3 \) und nicht \( -x^3 \)

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ersetzten

das habe ich gesehen!

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f(-x) = f(x) ist achsensymmetrisch und nicht punktsymmetrisch, ich habe nur falsch geschrieben.

Habe ich aber, dann falsch gerechnet?

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Ja was soll ich da sagen, wenn Du was falsches schreibst. Ich weiss ja nicht was Du Dir denkst. Mathematik hat auch was mit Exaktheit zu tun.

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Ist es so verständlich?

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Ja das schon, aber jetzt richtig \( (-x) \) einsetzten.

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einsetzten

Geht's noch, Du Exaktmensch?

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Entweder Du machst Mathematik oder nicht.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3-sin%28x%29%29+%2F+%28x%5E2%29

Wie aus dem Graphen ersichtlich, ist die Funktion achsensymmetrisch.

Ich habe als Ergebnis f(-x) = f(x) bekommen, dann habe ich richtig gerechnet, oder?

Nur vorher habe ich falsch interpretiert, denn f(-x) = f(x) ist achsensymmetirsch und -f(-x) = f(x) ist punktsymmetrisch.

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$$  f(x) = \frac{x^3-sin(x)}{x^2} $$ deshalb $$ f(-x) = \frac{(-x)^3 - sin(-x)}{(-x)^2} = \frac{-x^3 +sin(x)}{x^2} = -f(x) $$ also punktsymmetrisch.

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Danke für deine Antwort.