Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, Unstetigkeitsstellen (Polstellen bzw. Lücken), Grenzwerte und horizontale, vertikale und schiefe Asymptoten, Monotonie, Symmetrieeigenschaften, Graphen:
(f) f(x)= (3x2+2x) / (x3-3x2+2x)
Definitionsbereich: Nenner gleich Null setzen um die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist zu bekommen. Das gibt also auch Polstellen und Lücken.
x^3 - 3x^2 + 2x = 0 --> x = 2 ∨ x = 1 ∨ x = 0
D = R \ {0; 1; 2}
Nullstellen: Zähler gleich null setzen.
3x^2 + 2x = 0 --> x = - 2/3 ∨ x = 0
Wo Zähler und Nenner Null werden haben wir eine Lücke. Also ist 0 eine Lücke. Die Nullstelle ist also bei -2/3.
Polstellen
Polstellen sind jetzt bei 1 und 2.
Grenzwerte im Unendlichen.
Da das Nennerpolinom einen höheren Grad als das Zählerpolinom hat sind die Grenzwerte im Unendlichen 0.
Wir haben keine erkennbare Symmetrie.
Grenzwerte an den Polstellen
lim (x-->1-) f(x) = ∞
lim (x-->1+) f(x) = -∞
lim (x-->2-) f(x) = -∞
lim (x-->2+) f(x) = ∞
Dann kommt noch eine Skizze.