Bestimme Eigenschaften von folgenden Funktionen

Question

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, Unstetigkeitsstellen (Polstellen bzw. Lücken), Grenzwerte und horizontale, vertikale und schiefe Asymptoten, Monotonie, Symmetrieeigenschaften, Graphen:

(a) f(x)= 3 / (2x^2-4)

(b) f(x)= 5x / (7x^2-3x)

(c) f(x)= 2 / (x^2-6x+8)

(d) f(x)= (2x-4) / (x^2-4)

(e) f(x)= (x^2-1) / (x+1)

(f) f(x)= (3x^2+2x) / (x^3-3x^2+2x)

Answer 1

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, Unstetigkeitsstellen (Polstellen bzw. Lücken), Grenzwerte und horizontale, vertikale und schiefe Asymptoten, Monotonie, Symmetrieeigenschaften, Graphen:

(f) f(x)= (3x²+2x) / (x³-3x²+2x) 

Definitionsbereich: Nenner gleich Null setzen um die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist zu bekommen. Das gibt also auch Polstellen und Lücken.

x^3 - 3x^2 + 2x = 0 --> x = 2 ∨ x = 1 ∨ x = 0

D = R \ {0; 1; 2}

Nullstellen: Zähler gleich null setzen.

3x^2 + 2x = 0 --> x = - 2/3 ∨ x = 0

Wo Zähler und Nenner Null werden haben wir eine Lücke. Also ist 0 eine Lücke. Die Nullstelle ist also bei -2/3.

Polstellen

Polstellen sind jetzt bei 1 und 2.

Grenzwerte im Unendlichen.

Da das Nennerpolinom einen höheren Grad als das Zählerpolinom hat sind die Grenzwerte im Unendlichen 0.

Wir haben keine erkennbare Symmetrie.

Grenzwerte an den Polstellen

lim (x-->1-) f(x) = ∞
lim (x-->1+) f(x) = -∞
lim (x-->2-) f(x) = -∞
lim (x-->2+) f(x) = ∞

Dann kommt noch eine Skizze.

Answer 2

Hi,
machen wir mal (f)
Der Zähler hat die Nullstellen \( 0, -\frac{2}{3} \) der Nenner \( 0, 1, 2 \)
Da \( 0 \) eine des Nullstelle des Zählers und des Nenners ist, muss untersucht werden, wie das Verhalten an dieser Stelle ist, es muss also berechnet werden was \( \lim_{x\to 0 f(x)} \) ergibt. Durch ausklammern von \( x \) sieht man, das der Grenzwert \( \lim_{x\to 0 f(x)} = 1  \) gilt. Deshalb ist \( x = 0 \) ein hebbare Nullstelle und die Funktion ist dort stetig.
Als Polstellen bleiben also die Stellen \( x_{p1} = 1 \) und \( x_{p2} = 2 \)
Da weder \( f(x) = f(-x) \) noch \( f(x) = -f(-x) \) gilt, ist die Funktion weder symmetrisch noch punktsymmetrisch.
Das Schaublid sieht so aus

Comments

Wie bekommst du diese Grenzwerte?

Wie weißt du, dass lim (x-->1-) f(x) = ∞ ?