Geradengleichung für die Tangente an den Funktionsgraphen bestimme

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Geradengleichung für die Tangente an den Funktionsgraphen von
\( f(x)=\frac{x^{x}-\cos \left(x^{2}-1\right)}{e^{2 x}} \)

an der Stelle \( x=1 \).

Ansatz/Problem:

Dazu habe ich zunächst x = 1 eingesetzt und den Y Wert 0 erhalten. Ergibt Punkt (1/0)

Dann habe ich die Ableitung der Funktion gebildet:

\( f(x)=\frac{2 x \cdot \sin \left(x^{2}-1\right)+x^{x} \cdot(\ln (x)+1)-2 e^{2 x} \cdot\left(x^{x}-\cos \left(x^{2}-1\right)\right)}{\left(e^{2 x}\right)^{2}} \)

Nun wurde von mir in die Ableitung 0 eingesetzt ich habe somit 0,01831 heraus bekommen. Ich hatte nun für meine Tangentengleichung

y = mx + b // y mit 0, x mit 0,01831 gegeben, das ganze umgestellt

Somit hat sich folgende Tangentengleichung ergeben:

y = 0,01831x - 0,01831

Mir kommt das ganze ziemlich merkwürdig vor, aber daher meine Frage, habe ich richtig gerechnet. Und Falls ich etwas falsch gemacht habe, kann mir dann jemand erklären wo der Fehler steckt, manchmal steckt der Teufel ja im Detail. Ich erkenne keine Fehler in der Rechnung und hoffe auf Hilfe.

Answer 1

Der Fehler war, dass su bei der Ableitung für x die 0 eingesetzt hast,
weil es die Tangente bei x=1 ist, musst du 1 einsetzen.

Comments

Ach genau, ich meinte 1 eingesetzt und 0,01831 heraus bekommen.

Ist die Aufgabe soweit richtig, bis auf meinen falschen Satzbau? ;-)

Answer 2

Hier die richtige 1.Ableitung. Der erste blaue Term.

Comments

Ahh, 0,1353 kommt mir bekannt vor, dann stimmt was mit meiner Ableitung nicht, kannst du mir dort vielleicht genau erklären wo der Fehler liegt ?

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Ich komme auf:

Wo liegt der Fehler ?

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Ich meine der Fehler bei diesem Lindwurm ist der erste Summand
2 x * sin... + 1 ) - ...
hier dürfte fehlen
( 2 x * sin... + 1)) * e^{2x} - ...

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Danke, habe ich im Bild soeben verbessert. Wenn ich dann 1 einsetze komme ich aber nicht auf die 0,1353

// Es fehlt dann noch im Nenner (e^{2x})^2

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Deine 2.Berechnung ist noch falscher
Du hast ( so in etwa )
( u * v ) ´= ( u * v - v´ * u´ ) / v
hingeschrieben.

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Ich glaube, dass es jetzt stimmen muss, zumindest nach der Quotientenregel. Siehe dazu bitte das letzte Bild.
Oder gibt es noch einen Fehler. Übrigens danke für die Hilfe bis jetzt, nur mal so am Rande

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Es passt nun :( der Fehler ist nicht in der neu aufgestellten Gleichung zu finden, diese ist nun richtig.

Im GTR habe ich bei dem unteren Ausdruck (2*1)^2 die 1 vergessen... Darüber hinaus hat das Weglassen der Klammern zum richtigen Ergebnis geführt

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Noch mal eine kurze Frage:

Eigentlich müsste doch ( e^{2x} )^2 gerechnet werden, im GTR kommt so leider ein falsches Ergebnis heraus.

( e^{2*1} )^2 im Nenner liefert bei mir die besagten 0,018...

Sobald ich jedoch die äußere Klammer wegfallen lasse,

\( e^{2 x^{2}} \rightarrow e^{2 * 1^{2}} \)

stimmt es auch bei mir, aber was ist denn nun richtig ?

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Ich gehe von deinem Beitrag mit dem gelben Rahmen aus.

Die Terme für u, u ´, v und v´stimmen
v^2 = ( e^{2x} )^2

Wenn jetzt alles nach
( u ´ * v  - u *  v ´ ) / v^2
aufstellst sollte es funktionieren.

Als erstes würde ich im Zähler e^{2x} ausklammern und
gegen ein e^{2x} im Nenner kürzen.

Dann x = 1 einsetzen.
Dann sollte auch das richtige Ergebnis herauskommen.

mfg Georg

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Okay ich habe es jetzt nochmal aufgestellt:

\( \frac{\left.\left(x^{2} \cdot(\ln (x)+1)+2 x \cdot \sin \left(x^{2}-1\right)\right) *\left(e^{2 x}\right)-\left(2 e^{2 x}\right)\left(x^{*}-\cos \left(x^{2}-1\right)\right)\right)}{\left(e^{2 x}\right)^{2}} \)

Soweit richtig?

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Manchmal da gibt es keine Worte mehr, es lag nicht an einer falschen Rechnung, es lag an einer Falschen Eingabe in den GTR. Wie lange hat diese Erkenntnis jetzt gedauert ;D