In welchem Abstand zur y-Achse liegt Parallele, die das Flächenstück halbiert?

Question

der Graph f(x) = Wurzel(4-x)          [0,4]

begrenzt zusammen mit der positiven x und y achse ein flächenstück A. in welchem abstand t muss man eine Parallele zur y achse legen, damit der Flächeninhalt von A halbiert wird?

Answer 1

wenn du die Stammfunktion \(F(x) \) bestimmt hast, dann kannst du die Frage beantworten, in dem du dein \(t \in [0,4] \) suchst, so dass

$$ F(t) = \frac{1}{2} F(4) $$

gilt.

Gruß

Comments

Es ist doch der Abstand zur x-Achse gesucht , zum Beispiel  y= 0,8 !! Oder?

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Eine Aufteilung der Fläche kann so oder so durchgeführt werden.
Beides ist möglich.

Answer 2

die Stammfunktion lautet

$$F(x)=-\frac { 3 }{ 2 } \sqrt { { (4-x) }^{ 3 } } $$

du berechnest also erstmal das Integral

$$\int _{ 0 }^{ 4 }{ \sqrt { 4-x } dx } ={ F }_{ 0 }(4)$$

$$\int _{ 0 }^{ t }{ \sqrt { 4-x } dx } ={ F }_{ 0 }(t)$$

Es muss gelten:

$${ F }_{ 0 }(t)=\frac { 1 }{ 2 } { F }_{ 0 }(4)$$

Jetzt musst du das dementsprechend nach t auflösen.

Gruß
EmNero

Comments

Da ist mir ein kleiner Fehler unterlaufen ^^ Die Stammfunktion lautet natürlich:

$$F(x)=-\frac { 2 }{ 3 } \sqrt { { (4-x) }^{ 3 } } $$

Answer 3

Stammfunktion
-2/3 * √ ( 4-x )^3

Fläche
-2/3 * [ √ ( 4-x )^3 ]₀⁴
-2/3 * [ √ ( 4-4 )^3 - √ ( 4-0 )^3 ]
Teilfläche
-2/3 * [ √ ( 4-x )^3 ]₀^t
-2/3 * [ √ ( 4-t )^3 - √ ( 4-0 )^3 ]

Bedingung
1 / 2 * Fläche = Teilfläche

1 / 2 *  (-2/3) * [ - √ 64 ] = (-2/3) * [ √ ( 4-t )^3 - √ 64 ]
1 / 2  * [ - √ 64 ] = [ √ ( 4-t )^3 - √ 64 ]

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