Aussagen zu Abbildungen..

Question

Wie kann ich folgende Aufgaben lösen...? :

1) Wenn f injektiv und f ° g injektiv ist, dann ist g injektiv ?

2) Es ist Im(g ° f) ⊄ (keine Teilmenge von) Im g ?

3) Wenn f g = id_Y , dann ist g injektiv ?

(Ja oder Nein + Begründung)

(zu Aufg. 2: Es gibt hier nur das Zeichen --> ⊄ (="keine echte Teilmenge von")... 

gemeint ist aber --> "keine Teilmenge von")

Ich brauch keine Definition zu injektiv usw.., sondern möchte nur wissen,

wie man solche Aufgaben löst und begründet.

Vielen Dank :)

Answer 1

Wenn f injektiv und f ° g injektiv ist, dann ist g injektiv ?            

Etwa so:  Um zu zeigen, dass g injektiv ist, muss aus g(a)=g(b) folgen a=b.

Sei also g(a) = g(b) dann ist   f(g(a)) = f(g(b))

weil f eine Abbildung ist (ijektiv wird da gar nicht gebraucht.)

also  (f °g)(a) =  (f °g)(b)  und weil (f °g) injektiv ist, also a=b.

Damit ist gezeigt: Wenn  f ° g injektiv ist, dann ist g injektiv.

Comments

Warum gilt g(a)=g(b) bzw. f(g(a))=f(g(b)) ?

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Ach da waren ja noch 2:

Es ist Im(g ° f) ⊄ (keine Teilmenge von) Im g ?             

ist falsch:

wenn z aus Im(g ° f) ist, dann gibt x aus Defbereich von f  mit

(g ° f) (x) = z    also  g ( f(x) ) = z 

Dann ist z auch aus Im g, denn es gibt ein Element ( nämlich f(x) )

dessen Bild z ist.

Wenn f g = id_Y , dann ist g injektiv.  

Ist das auch f ° g  ?

Dann seien  (siehe 1. Aussage) a und b aus ? mit g(a) = g(b)

Dann ist f(g(a)) =   f(g(b))      #   weil f eine Abbildung ist.

Nach Vor. ist f(g(a))= a und   f(g(b))= b , wegen # also a=b.

Also ist g injektiv.

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Um zu zeigen, dass g injektiv ist, muss aus g(a)=g(b) folgen a=b.

Um so was zu zeigen ist die gängige Methode:

Seien a und b so, dass g(a)=g(b) gilt
dann iwrd irgendwie argumentiert, bis am Ende folgt:

a=b.

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Ok. Das heißt für f ° g kann ich immer f(g(x)) hinschreiben? Und Vielen Dank für all deine Ansätze!!! :)

zu Aufg.3 : Es sollte f ° g heißen. Du hast Recht. Hab mich verschrieben. :)

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Das heißt für f ° g kann ich immer f(g(x)) hinschreiben?

Ja, das ist gerade so definiert.