injektive Abb. R^2 nach R

Question

ich habe eine (vermutlich) einfache Frage, stehe aber gerade auf dem Schlauch:

ich suche eine beliebige injektive Abbildung ℝ²→ℝ

Vielen Dank schon mal!

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Gute Frage, bin mal gespannt auf die Antworten.

Answer 1

Hi,
ich denke man kann das so machen.
Nehme eine bijektive Abbildung \( g : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) mit \( g(0,0) = 0 \)
Die Zahlen \( (x,y) \in \mathbb{R^2} \) kann man in kanonischer Dezimaldarstellung so darstellen, siehe dazu hier

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/perucca/EZT-S13-R.pdf

$$ x = a, a_0a_1a_2 \dotsb $$ und $$ y = b, b_0b_1b_2 \dotsb $$
Die injektive Abbildung wird jetzt als kanonische Dezimalzahl so definiert
$$ f(x,y) = g(a,b),a_0b_0a_1b_1a_2b_2 \dotsb  $$
also sozusagen im Reißverschlussverfahren. Damit sieht man sofort das diese Abbildung injektiv ist.
Sie ist aber nicht surjektiv, denn z.B. die Zahl \( 0.\overline{89} \) hat kein Urbild, denn in diesem Fall müsste für \( y \) gelten
\( y = 0.\overline{9} = 1 \) und für \( x = 0.\overline{8} \) Damit ergibt sich \( f(x,y) = g(0,1),808080 \) und das ist nicht \( 0.\overline{89}  \)
Man kann sogar zeigen, dass es überabzählbar viele Zahlen gibt, die man mit dieser Abbildung nicht darstellen kann.

Comments

Hi ullim,

vielen herzlichen Dank für die Antwort. Für mich verschiebt diese das Probleme aber nur, da ich mir unter einer "bijektive Abbildung ℤ^2→ℤ mit g(0,0)=0" nicht so richtig viel vorstellen kann.

Was mich ein bisschen davon abhält hier eine konkrete Vorstellung zu bekommen ist folgende Argumentation: ℤ^2 enthält mehr Elemente als ℤ, daher muss ein Element in ℤ mehrfach als Funktionswert angenommen werden (auch wenn mir natürlich klar ist, dass diese Argumentation nur bei endlichen Mengen korrekt wäre!).

Mir ist es jedenfalls nicht gelungen ein solches g zu finden, vielleicht kann mir ja hier noch jemand weiterhelfen.

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Also die Anzahl der Elemente spielt ja bei unendlichen Mengen keine Rolle. Z.B. kann man die ganzen Zahlen auf die natürlichen Zahlen abbilden, in dem man die negativen Zahlen auf die geraden Zahlen abbildet und die positiven auf die ungeraden Zahlen abbildet. Damit hat man eine bijektive Abbildung von \( \mathbb{Z } \to \mathbb{N}  \) und somit haben \( \mathbb{N} \) und \( \mathbb{Z} \) die gleiche Kardinalität.

Auf ähnliche Art und Weise geht das auch für \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) Man nummeriert die Koordinaten im Kreis, rund um den Ursprung, durch.