Zeigen Sie, dass es für jedes r∈ℕ mit n ≤ r einen K-Vektorraum V der Dimension r und eine injektive Abbildung U → V …

Question

: Ich hänge gerade an zwei Aufgaben der Linearen Algebra I, bei denen ich zwar Ideen habe, aber nicht so recht auf die goldene Idee für die Lösung komme:

1) Sei U ein K-Vektorraum der Dimension n. Zeigen Sie, dass es für jedes r∈ℕ mit n ≤ r einen K-Vektorraum V der Dimension r und eine injektive Abbildung U → V gibt.

Idee: Man muss allgemein zeigen, dass es immer eine injektive Abbildung von einem "kleineren" in einen "größeren" Vektorraum gibt; weiß nur leider nicht, wie ich das formal aufschreiben soll. 

2) Es sind drei linear abhängige Vektoren v₁, v₂ und v₃ aus dem ℝ³ und drei weitere Vektoren w₁, w₂, w₃ aus dem ℝ⁴ gegeben (die auch linear abhängig sind).

Gibt es eine lineare Abbildung f: ℝ³ → ℝ⁴ mit f(v_i) = w_i für i ∈ Menge bestehend aus 1, 2 und 3?

Idee: Da die drei Vektoren aus dem IR³ linear abhängig sind, gibt es nach dem Prinzip der Linearen Fortsetzung keine solche Abbildung. Ich bin mir nur unsicher, ob das nicht etwas zu kurz gedacht ist; vor allem auch weil die Vektoren im IR⁴ ebenfalls linear abhängig sind.

Ich hoffe mir kann jemand helfen!

Gruß Ignis_Infernalis

Answer 1

Hallo,

für 1) wählst du eine Basis von U und eine Basis von V. Eine lineare Abbildung ergibt sich in eindeutiger Weise, indem du dem i-ten Basisvektor u_i von U den i-ten Basisvektor v_i von V zuordnest für i = 1, ..., n: f(u_i) = v_i.

Für 2) findet man zwar Fälle von linear abhängigen Vektoren v₁, v₂ und v₃, die man linear auf die linear abhängigen Vektoren w₁, w₂, w₃ abbilden kann. Jedoch scheitert die Allgemeinheit der Aussage an den Gegenbeispielen.

Sei dazu beispielsweise v₁ beliebig und v₂ = 2v₁ und v₃ = 3v₁. Weiter sei w₁ beliebig, f(v₁) = w₁ erfüllt und w₂ = w₁/2 und w₃ = w₁/3. Weil f linear ist, ist dann f(v₂) = 2f(v₁) = 2w₁ ≠ w2 = w₁/2.

Grüße

Mister

Comments

Vielen Dank! 2 kurze Anmerkungen:

1) Ist das dann bereits ein vollständiger Beweis für die Injektivität der Abbildung?

2) Wäre die Argumentation über das Prinzip der linearen Fortsetzung also auch korrekt?

Gruß Ignis_Infernalis

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Bei 1) lässt sich Injektivität mit der Linearität zeigen: Sei dazu f(x₁) = f(x₂). Man berechnet 0 = f(x₁) - f(x₂) = f(x₁ - x₂) und stellt fest, dass x₁ - x₂ im Kern von f ist. Da die Basisvektoren f(u_i) = v_i aber linear unabhängig sind, ist die Dimension des Bildes von f gleich n und der Kern von f ist trivial: Das bedeutet x₁ - x₂ = 0.

Bei 2) kann man das Prinzip der linearen Fortsetzung (https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Prinzip_der_linearen_Fortsetzung) nicht anwenden, da die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Vielmehr ist es ja so, dass man hier zeigen soll, dass das Prinzip der linearen Fortsetzung unter abgeschwächten Voraussetzungen nicht mehr gilt.

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Alles klar, dankeschön!

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Bitteschön.
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