grenzwert für lim n→∞ 2/ ((x^2n) + 2)

Question

Brauche den Lösungsweg für folgende Grenzwertberechnung.

lim n→∞  2/ ((x^2n) + 2)

Vielen Dank

Answer 1

Du musst drei Fälle unterscheiden:
\(|x|>1, |x|=1, |x|<1\).

Comments

warum vergleichst du x mit 1. warum nicht mit 0, um herauszufinden ob x positiv oder negativ ist?

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Weil 1 nun mal die Stelle ist, an der sich das Konvergenzverhalten ändert.
Ob \(x\) positiv oder negativ ist, macht keinen Unterschied, denn es gilt \((-x)^{2n}=((-x)^2)^n=(x^2)^n=x^{2n}\).

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wie finde ich heraus wo sich das konvergenzverhalten ändert?

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Für \(|x|<1\) gilt \(\lim_{n\to\infty}x^n=0\). Und wegen \(|x|<1\Leftrightarrow |x^2|=x^2<1\) gilt auch \(\lim_{n\to\infty}(x^2)^n=0\).
Genauso kann man sich das für die anderen Fälle überlegen.

Answer 2

Hi,
bei \( |x| < 1 \) folgt \( x^n \to 0 \) und der Grenzwert wird \( 1 \).
Bei \( |x| > 1 \) folgt \( x^n \to \infty \) und der gesamte Grenzwert wird 0, weil der Nenner gegen \( \infty \) geht.
Bei \( x = 1 \) folgt \( x^n = 1 \) und der Grenzwert ist \( \frac{2}{3} \) wie man durch einsetzten bestätigen kann.

Comments

Ohne Betragsstriche ist zumindest die erste Zeile falsch. Da muss stehen "Bei \(|x|<1\) folgt ..."

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Hab ich geändert, danke.