Analysis - Wie komme ich auf die gesuchte Funktion? Polynom 3. Grades besitzt bei x=1 die Wendetangente t(x)=3x+b…

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt bei x=1 die Wendetangente t(x)=3x+b , schneidet die y-Achse bei 2 und besitzt dort einen Hochpunkt. Bestimme die Funktion!

Answer 1

Hi,

Eine Funktion 3ten Grades sieht allgemein so aus: y=ax^3+bx^2+cx+d

Bedingungen aufstellen:

f''(1)=0   (Wendepunkt)

f'(1)=3    (Steigung am Wendepunkt ist 3)

f(0)=2     (y-Achsenabschnitt)

f'(0)=0     (y-Achsenabschnitt ist auch Extrempunkt)

 

Zugehöriges Gleichungssystem:

6a + 2b = 0
3a + 2b + c = 3
d = 2
c = 0

 

Auflösen ergibt

a=-1, b=3, c=0 und d=2

 

Folglich: f(x)=-x³+3x²+2

 

Grüße

 

 

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt bei \(x=1\) die Wendetangente \(t(x)=3x+b\) , schneidet die y-Achse bei 2 und besitzt dort einen Hochpunkt. Bestimme die Funktion!

Ein anderer Zugang:

schneidet die y-Achse bei 2 und besitzt dort einen Hochpunkt: ( muss aber Tiefpunkt heißen)!!

H\(0|2)\)↓H´\(0|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a[x^2(x-N)]=a[x^3-Nx^2]\)

\(f'(x)=a[3x^2-2Nx]\)

\(f''(x)=a[6x-2N]\)

besitzt bei \(x=1\) die Wendetangente:

\(f''(1)=a[6-2N]=0\)

\(N=3\):

\(f(x)=a[x^3-3x^2]\)  und  \(f'(x)=a[3x^2-6x]\)

Steigung der Wendetangente ist \(m=3\):

\(f'(1)=a[3-6]=-3a=3\)

\(a=-1\):

\(f(x)=-(x^3-3x^2)\)  ↑:

\(p(x)=-(x^3-3x^2)+2\)