Lineare Abbildungen. Punkte und Bildpunkte gegeben. Suche Abbildungsmatrix.

Question

Ich habe eine Frage, Wenn die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Matrix M der linearen Abbildung des R3 in sich, die den Punkt A1 auf den Punkt A2 , den Punkt B1 auf den Punkt B2 und den Punkt C1 auf den Punkt C2 abbildet.

A1 (1/0/0) A2 (0/2/0) B1 (0/2/0) B2 (0/4/0) C1 (0/0/3) C2 (0/0/6)

Wie kann man hier vorgehen? Ich hätte gerechnet: Abbildungsmatrix * A1 = A2
Und dann alle zusammenaddiert.
Geht das so oder muss man das anders berechnen? Ich weiß, dass diese Punkte alle mit 2 multipliziert, aber das ist ja nicht immer so, deswegen hätte ich das gerne allgemeiner.

Answer 1

Deine Abbildungsmatrix ist ja eine 3x3 Matrix der Form :
a b c

d e f

g h i

"Wie kann man hier vorgehen? Ich hätte gerechnet: Abbildungsmatrix * A1 = A2
Und dann alle zusammenaddiert. "

Der Anfang ist richtig. Rechne Matrix mal Vektor und schreibe mal die Multiplikation aus. 

(Für A1 z.b.

1a=0

1d=2

1g=0

Mache das für die anderen Vektoren auch und du erhältst insgesamt 9 Gleichungen. Du kannst dir dann jeweils 3 Gleichungen nehmen und diese in ein LGS packen und anschließend die Koeffiezienten ausrechen.

Comments

Es tut mir Leid!

A2 ist (2/0/0)

Und wie kommst du auf 1a, warum nicht z.B 2a?

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Wäre das nun so richtig? : 

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Nein. Wie gesagt,habe ich die Matrix mit dem Vektor multipliert :
Nocheinmal:
Du hast die Matrix A:
$$A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

Jetzt weißt du,dass gilt :
A* A1= A2

Schreiben wir das mal aus :

$$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}*\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}*\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+0b+0c \\ d+0e+0f \\ g+0e+0f \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Deine ersten 3 Gleichungen sind richtig,bei den anderen musst du nochmal nachrechnen.

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Alles klar.
Dann bekomme ich für A*B1=B2 und bei A*C1=C2 auch eine 3x3 Matrix raus.

Kann ich diese 3 Matrizen dann einfach zusammenaddieren?

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Und noch eine Frage:
Ich habe das auch mal so gerechnet für:
(1/0/0) wird abgebildet auf (0/1/1)
Nur da komme ich dann auf ganz komische Gleichungssysteme.

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Warum?
Du hast dann doch :

a=0

d=1

g=1

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Kann ich diese Matrizen von meiner Ursprungsaufgabe  dann addieren?

Aber andersrum ginge es doch nicht..

Denn dann käme ja raus:

a + b = 1

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Andersrum?
Warum willst du die addieren?

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Weil ich ja eine Abbildungsmatrix bestimmen sollte, die für alle Abbildungen der Punkte gilt.
Also A* A1 = A2 A*B1=B2 A*C1=C2
Und diese As dann addieren, denn dann komme ich auch auf die Lösung, die mir vorgegeben wurde.

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Ich glaube nicht,dass man damit auf das Ergebnis kommt. Das Verfahren ist mir zumindest nicht bekannt.
Mach es doch mal so wie ich es vorgeschlagen habe:
Matrix*A1=A2
Matrix*B1=B2
Matrix*C1=C2

Dann hast du jeweils 3 Gleichungen.
Nehme jetzt jeweils die 1. von allen drei Gleichungen und packe sie in ein LGS. Dann hast du 3 Gleichungen,die die Variablen a,b,c enthalten.
Das kannst du dann auflösen.

Jetzt nehme jeweils die 2. von allen drei Gleichungen und packe sie in ein LGS. Du kannst jetzt d ,e,f erhalten.
Das selbe auch für die 3. Zeile und du hast auch g,h,i.

Dann einfach die Koeffizienten in die Matrix schreiben und fertig.

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Jetzt habe ich es kapiert. Und das kann man immer so anwenden?
Wäre dann die Lösung für: 0/0/1 abgebildet auf 0/1/1 1/1/0 abgebildet auf 0/0/1 0/1/1 abgebildet auf 1/1/0
A B C A = -1 B = 1 C = 0
Nur um zu sehen, ob ich nun verstanden habe.
Dankeschön!

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Ja genau.

Ich würde aber an deiner Stelle a,b,c als Kleinbuchstaben schreiben. Mit großen Buchstaben sind gewöhnlich Matrizzen oder Mengen gemeint.

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Danke für den Tipp.

Jetzt habe ich alles verstanden!

Vielen

Answer 2

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Basiseinheitsvektoren.

Wenn du das gelernt hast, kannst du die Matrix hier praktisch sofort hinschreiben.

A1 (1/0/0) A2 (0/2/0) 

1. Spalte der Matrix (0|2|0)

B1 (0/2/0) B2 (0/4/0) Wegen Linearität folgt

D1 (0|1|0) D2 (0| 2| 0)

Daher 2. Spalte der Matrix (0|2|0)

C1 (0/0/3) C2 (0/0/6) hier folgt

E1(0|0|1) E2(0|0|2)

3. Spalte also (0|0|2)

Nun die Spalten nebeneinander hinstellen:

M = 

[ 0 0 0

 2 2 0

0 0 2]

Wegen 

"Es tut mir Leid!

A2 ist (2/0/0)"

ergibt sich analog

M = 

[ 2 0 0

 0 2 0

0 0 2]

Comments

Vielen Dank Lu, das weiß ich, aber das geht nun mal nicht immer, deswegen wollte ich einen allgemeineren Rechenweg. :)

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Bitte. Dann ist ja jetzt alles geklärt.