Tiefpunkt T(2|4) und Wendepunkt W(0|0), Wendetangente hat Steigung 1

Question

Bestimm eine ganzrationale Funktion möglichst niederen Grades.

Tiefpunkt T(2|4) und Wendepunkt W(0|0), Wendetangente hat Steigung 1

Die Aufgabe gab es so ähnlich mal, aber da wurde nicht so aufgelöst, wie ich das machen muss.

Kann mir jemand sagen, welchen Grad die Funktion haben muss und vieleicht die Funktion? Den Rest schaff ich. :)

Answer 1

Bestimm eine ganzrationale Funktion möglichst niederen Grades. 

Tiefpunkt T(2|4) und Wendepunkt W(0|0), Wendetangente hat Steigung 1

f(2) = 4

f'(2) = 0

f(0) = 0

f'(0) = 1

f''(0) = 0

Wir haben 5 Bedingungen also sollte es eine Funktion 5. Grades sein. Die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm hilft dabei deine Gleichungen und deine Funktion zu kontrollieren.

16a + 8b + 4c + 2d + e = 4

32a + 12b + 4c + d = 0

e = 0

d = 1

2c = 0

f(x) = -0,5·x^4 + 1,25·x^3 + x

f'(x) = -2·x^3 + 3,75·x^2 + 1

f''(x) = -6·x² + 7,5·x

Comments

du hast jetzt eine 4. Grades raus? Oben steht doch 5 Informationen = 5. Grades

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f(x) = -0,5·x⁴ + 1,25·x³ + x

ist leider NICHT die richtige Lösung deiner Aufgabe :

die Bedingung: T(2|4) ist Tiefpunkt  .. ist nicht erfüllt

Sicher wird  der Mathecoach dir gerne noch eine mögliche

Lösung  vorschlagen , die dann alle Bedingungen der

Aufgabenstellung erfüllt.

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g(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f

Man könnte eventuell g''(2) > 0 hinzu nehmen, damit es ein TP ist

32·a + 16·b + 8·c + 4·d + 2·e + f = 4
80·a + 32·b + 12·c + 4·d + e = 0
f = 0
e = 1
2·d = 0
80·a + 24·b + 6·c + d > 0

Damit komme ich auf

b = - (8·a + 1)/2 ∧ c = (16·a + 5)/4 ∧ d = 0 ∧ e = 1 ∧ f = 0 ∧ a > 9/16

Also z.B. für a = 1

b = -4.5 ∧ c = 5.25 ∧ d = 0 ∧ e = 1 ∧ f = 0

g(x) = x^5 - 4.5x^4 + 5.25x^3 + x

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Ok, cool. Danke, mit Bedingungen hatten wir noch nicht gerechnet, um solche Aufgaben zu lösen. Was heißt TP?

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Mathecoach ist wahrscheinlich nicht mehr da, deswegen misch ich mich mal ein.

TP ist ein Tiefpunkt

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Wahrscheinlich war es auch ein Druckfehler in der Aufgaben im Buch und es sollte heißen Hochpunkt H(2|4, dann haut das mit der Funktion 4. Grades auch hin. 

Answer 2

"

Tiefpunkt T(2|4) und Wendepunkt W(0|0), Wendetangente hat Steigung 1"

du solltest schauen, wieviele Informationen dir gegeben wurden

hier sind es 5

also wirst du einen Ansatz mit einer Gleichung mit 5 Parametern machen

dh -> welchen Grad muss die gesuchte Funktion (mindestens) haben?

-> ...

nebenbei: überprüfe, wo

f(x) = -0,5·x⁴ + 1,25·x³ + x

einen Tiefpunkt hat?