Gesucht Funktion mit: (1) O (0/0) ist auf Graph, (2) W (2/4), (3) Wendetangente hat die Steigung -3

Question

Gesucht ist eine ganzrationale Fkt dritten grades mit eigenschaften

(1) O (0/0) ist Punkt des Graphens
(2) W (2/4) ist Wendepunkt
(3) die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3

Schritte zum Auffinden dieser Fkt
1) Aufstellen der allg. Ausgangskt = f (x) = ....

2) Notieren der allgemeinen Bedinungsgleichungen:
f' ' (x) ... , f '' (x) ... f ''' (x) ...

3) Eigenschaften interpretieren

Eigenschaften ?
Notwendige Funktionsbedingung ?

4) Bestimmung der Unbekannten

5) Aufstellung der Fktgleichung f (x) ...

6) Probe!

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f'''(x) = 6a


f(0) = 0 => d = 0

f'(2) = -3 , also 12a + 4b + c = -3

f(2) = 4 , also 6a + 4b + 2c = 4

f''(2) = 0 , also 12a + 2b = 0

f'''(2) ≠ 0


a = 1,25

b = -7,5

c = 12

d = 0


f(x) = 1,25x^3 - 7,5x^2 + 12x

f'(x) = 3,75x^2 - 15x + 12

f''(x) = 7,5x - 15

f'''(x) = 7,5


Einsetzen der gegebenen Informationen in die Funktionsgleichung und deren Ableitungen zeigen, dass diese Lösung korrekt ist :-)

Answer 2

Schritte zum Auffinden dieser Fkt
1) Aufstellen der allg. Ausgangskt = f (x) = ....

Wir haben 4 Bedingungen damit nehme ich eine Funktion 3. Grades.

2) Notieren der allgemeinen Bedinungsgleichungen:

(1) O (0/0) ist Punkt des Graphens
(2) W (2/4) ist Wendepunkt
(3) die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3

f(0)=0
f(2)=4
f''(2)=0
f'(2)=-3

3) Eigenschaften interpretieren

Vielleicht ist hier das aufstellen des Gleichungssystems gemeint. Zumindest ist das der nächste Schritt.

d = 0
8a + 4b + 2c + d = 4
12a + 2b = 0
12a + 4b + c = -3

4) Bestimmung der Unbekannten

Das LGS hat die Lösung 

a = 1.25
b = - 7,5·x^2
c = 12
d = 0

5) Aufstellung der Fktgleichung f (x) ...

f(x) = 1.25·x^3 - 7.5·x^2 + 12·x

6) Probe!

Ich nehme mal an die kannst du selber machen.