Von f: R2 nach R3 lineare Abbildung, Abbildungsmatrix bestimmen

Question

Aufgabe: Von R2 nach R3 lineare Abbildung

Text erkannt:

Gegeben sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch
\( f\left(\left[\begin{array}{c} -2 \\ 7 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 26 \\ 55 \\ -46 \end{array}\right], \quad f\left(\left[\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 17 \\ 6 \\ -8 \end{array}\right] \)
Bestimmen Sie
\( f\left(\left[\begin{array}{l} -5 \\ -2 \end{array}\right]\right) \)
sowie die zu \( f \) gehörige Abbildungsmatrix.

Problem/Ansatz:

wie bilde ich die Abbildungsmatrix, ich habe ja für diese keinen ansatz

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die gesuchte Abbildungsmatrix \(A\) muss folgende Abbildungen realisieren:$$\left(\begin{array}{r}26\\55\\-46\end{array}\right)=A\cdot\left(\begin{array}{r}-2\\7\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}17\\6\\-8\end{array}\right)=A\cdot\left(\begin{array}{r}5\\3\end{array}\right)$$

Wir fassen beide Gleichungen in einer Matrix-Gleichung zusammen:$$\left(\begin{array}{rr}26 & 17\\55 & 6\\-46 & -8\end{array}\right)=A\cdot\left(\begin{array}{rr}-2 & 5\\7 & 3\end{array}\right)$$

Damit können wir \(A\) direkt bestimmen:$$A=\left(\begin{array}{rr}26 & 17\\55 & 6\\-46 & -8\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}-2 & 5\\7 & 3\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 4\\-3 & 7\\2 & -6\end{array}\right)$$

Der Vektor \(\binom{-5}{-2}\) wir abgebildet auf:$$A\binom{-5}{-2}=\left(\begin{array}{r}-13\\1\\2\end{array}\right)$$