Abbildungsmatrix eines Winkels im R2 invertierbar?

Question

Aufgabe:

Eine Abbildungsmatrix einer Drehung im ℝ² um einen Winkel von Bogenmaß θ ist durch \( \begin{pmatrix} cos(θ) & - sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{pmatrix} \)

gegeben. Ist die Matrix invertierbar, wenn ja was ist das Inverse?

Das Inverse kenne ich, weiß aber nicht wie ich die invertierbarkeit begründen soll.
Könnte jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

bei 2x2-Matrizen tut man sich ja noch relativ einfach. Für jede 2x2-Matrix gilt:$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$D.h. die Inverse existiert genau dann (gilt auch für größere Matrizen) wenn die Determinante der Matrix \(\ne 0\) ist$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc$$In Deinem konkreten Fall handelt es sich auch noch um eine orthogonale Matrix. Der Betrag der Determinante einer orthogonalen Matrix ist immer \(=1\). D.h. sie ist immer invertierbar und weiter gilt für so eine orthogonale Matrix \(O\)$$O^{-1} = O^T$$D.h. die Inverse ist die transponierte Matrix.

... weiß aber nicht wie ich die invertierbarkeit begründen soll.

bei orthogonalen Matrizen stehen die Spaltenvektoren senkrecht auf einander, d.h. das paarweise Skalarprodukt ist gleich 0:$$\left<\begin{pmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}\right> = -\cos(\theta)\sin(\theta)+\sin(\theta)\cos(\theta) = 0$$und der Betrag ihrer Determinante ist 1 (das reicht für die Invertierbarkeit)$$\det\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}= \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$$

Answer 2

Eine Drehung kann man ja rückgängig machen, also

ist die Inverse die Drehung um den Gegenwinkel -θ

Aus

\( m= \begin{pmatrix} cos(θ) & - sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{pmatrix} \)

wird dann

\( m^{-1}=\begin{pmatrix} cos(-θ) & - sin(-θ) \\ sin(-θ) & cos(-θ) \end{pmatrix} \)

Wenn du die Vorzeichenregeln von sin und cos noch einbaust:

\( m^{-1}=\begin{pmatrix} cos(θ) &  sin(θ) \\ -sin(θ) & cos(θ) \end{pmatrix} \)