Bestimmen Sie Abbildungsmatrix und beweisen Sie Additionstheoreme für Sinus und Cosinus

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe möchten wir mit Hilfe von Drehmatrizen leicht die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus herleiten. Aus der Vorlesung kennen wir die Drehung um 0 ∈ ℝ² mit Winkel α:
f_α : ℝ² → ℝ² ,(x, y) → (cos(α)x − sin(α)y, sin(α)x + cos(α)y).

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A_α := A_fα,X,X, wobei X die Standardbasis des ℝ² bezeichnet. Beweisen Sie nun die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus, indem Sie A_α+β und A_α · A_β betrachten.

Answer 1

In der Abbildungsmatrix für f_α stehen in den Spalten die Bilder

der Basisvektoren, also sieht die so aus

A_α   =  \(       \begin{pmatrix} cos(α) & -sin(α) \\ sin(α) & cos(α) \end{pmatrix}         \)

A_α+ß =  \(      \begin{pmatrix} cos(α+ß) & -sin(α+ß) \\ sin(α+ß) & cos(α)+ß \end{pmatrix}        \)

Und A_α * A_ß =   \(      \begin{pmatrix} cos(α)*cos(ß)-sin(α)*sin(ß) & \dots \\  \dots & \dots \end{pmatrix}        \)

oben links zum Vergleich: Add.theorem für cos. etc.

Comments

dankeschön^^

Answer 2

Hallo

die Abbildungsmatrix hat als Spalten die Bilder der Standardbasisvektoren (1,0)^T und (0,1)^T also leicht hinzuschreiben, und dann multiplizieren ist ja auch  im wesentlichen Schreibarbeit.

Gruß lul