die Abbildungsmatrix von f bestimmen/korrekter Rechenweg?

Question

Hallo an alle!

Kann einer mir jemand eine schnelle Rückmeldung geben, ob die Rechnung so korrekt ist? Ein anderer Rechenweg fällt mir dazu nicht ein

Aufgabe:

Antwort
Wir betrachten den \( \mathbb{R}^{3} \) mit der Basis
\( \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \)
Die Abbildung \( f \) ist bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \) gegeben durch die Abbildungsmatrix
\( \left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) . \)
Bestimme die Abbildungsmatrix von \( f \) bzgl. der Standardbasis.

Problem/Ansatz:

\( B=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \quad F=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \)
\( B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
\( 3^{-1}=\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \stackrel{z_{2} \rightarrow z_{2}+z_{3}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{lll|lll}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \stackrel{z_{1} \rightarrow z_{1} \rightarrow z_{2}}{\longrightarrow} \)
\( \left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
\( \Rightarrow F_{B}=B^{-1} \cdot F \cdot B= \)
\( \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{llr}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)= \)
\( \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Du bist mit den Basen durcheinander gekommen. Ich empfehle bei solchen Aufgaben immer die Eingangsbasis rechts und die Ausgangsbasis links neben die Matrix zu schreiben.

Die Koordinaten der Vektoren aus der Basis \(B\) sind bezüglich der Standardbasis \(E\) angegben. Du hast diese Basisvektoren in eine Matrix eingetragen und damit die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\) generiert:$$B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)={_E}\mathbf{id}_B$$

Bezüglich der Basis \(B\) ist die Abbildungsmatrix \(F\) für eine Abbildung \(f\) angegeben. Das heißt, die Matrix \(F\) erwartet rechts Eingangsvektoren bezüglich der Basis \(B\) und liefert links Ausgangsvektoren bezüglich der Basis \(B\):$$F=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right)={_B}F_B$$

Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix für \(f\), die Vektoren bezüglich der Standarbasis \(E\) erwartet und liefert:$${_E}F_E={_E}\mathbf{id}_B\cdot{_B}F_B\cdot{_B}\mathbf{id}_E={_E}\mathbf{id}_B\cdot{_B}F_B\cdot\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}$$

Erkennst du den Unterschied zu deiner Rechnung? Du musst die inverse Transformationsmatrix von rechts und die Transformationsmatrix von links an die Abbildungsmatrix multiplizieren, nicht umgekehrt. Das Ergebnis lautet dann:$${_E}F_E=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\-1 & 2 & 1\\1 & -1 & 0\end{array}\right)$$

Comments

Achso, alles klar, besten Dank!

Aber wie hast du erkannt, dass man die inverse Transformationsmatrix von rechts und die Transformationsmatrix von links an die Abbildungsmatrix multipliziert? Wie hätte ich das erkennen sollen? Das habe ich noch nicht durchblickt

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Ich habe mich in die Lage eines Vektors \(x_E\) aus dem Koordinatensystem \(E\) versetzt.

Du musst die Koordinaten des Vektors \(\vec x_E\) zunächst von der Basis \(E\) in die Basis \(B\) transformieren:$${_B}\mathbf{id}_{E}\cdot\vec x_E\quad\text{bzw.}\quad\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}\cdot\vec x_E$$

Auf das Ergebnis kann die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis \(B\) wirken:$${_B}F_B\cdot\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}\cdot\vec x_E$$

Dieses Ergebnis muss wieder in die Basis \(E\) tranformiert werden:$$\underbrace{{_E}\mathbf{id}_B\cdot{_B}F_B\cdot\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}}_{={_E}F_E}\cdot\vec x_E$$

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Tausend Dank! Bei Fragen melde ich mich hier wieder.

Answer 2

>ob die Rechnung so korrekt ist?<

Nein,

>Die Abbildung \( f \) ist bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \) gegeben durch die Abbildungsmatrix<

gegeben _BF_B und nicht F

Answer 3

\(  F_{B}=B^{-1} \cdot F \cdot B= \) ist ok, aber du hast ja

gegeben \(  F_{B}   \)  und suchst  F .

Also musst du \(  F=B \cdot F_{B} \cdot B^{-1} \)  rechnen.

Comments

Aber als Ergebnis kommt ja das gleiche raus, oder?

Oder ändert sich die Lösung dadurch?

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Ja ändert sich, 1. Spalte ist z.B.

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