Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von g in der Standardbasis von ℝ.

Question

Beweisen Sie, dass es eine eindeutig bestimmte ℝ–lineare Abbildung g: ℝ^3 →ℝ^3 gibt welche die Vektoren

(1 , 1, 1,); (0, 1, 0); (1, 0, 2) in die Vektoren (1, 1,1); (0, 1, 0); (1, 0, 1)

abbildet. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von g in der Standardbasis von ℝ.
Hilfe, ich verstehe diese Aufgabe nicht. Wie kann ich beweisen dass diese Abbildung existiert und eindeutig ist ?

Answer 1

Aloha :)

Wir kennen zwar die gesuchte Abbildungsmatrix \(A\) noch nicht, wohl aber ihre Wirkung auf einige Vektoren:

$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$Diese drei Gleichungen fassen wir zu einer Matrixgleichung zusammen:$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}$$und berechnen daraus die Abbildungsmatrix:$$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Die Abbildung existiert, denn du hast die Matrix angegeben. Die Abbildung ist eindeutig, weil die inverse Matrix existiert und eindeutig ist (Gruppen-Axiome).

Comments

Ach cool, vielen lieben Dank!