Beweisen Sie, dass U ein R-Vektorraum der Dimension dimU = 1 ist

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum und \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in V \) linear abhängige Vektoren, von denen jeweils \( n-1 \) Vektoren linear unabhängig seien. Sei weiterhin

\( U:=\left\{\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i}=0\right\} . \)

Beweisen Sie, dass \( U \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum der Dimension \( \operatorname{dim} U=1 \) ist.

Answer 1

Betrachte die Abbildung f:ℝⁿ → V mit

 \( \left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right) \mapsto \sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i} \)    und zeige, dass sie linear ist.

Dann ist     \(  Bild(f)=  <x_{1}, \ldots, x_{n} > \) und wegen  \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in V \)

sind linear abhängige Vektoren, von denen jeweils \( n-1 \) Vektoren linear unabhängig seien.

Ist dim(Bild(f)) = n-1 . Also ist U = Kern(f) ein Unterraum von  ℝⁿ mit dim(U)=1.