Integralrechnung in 11. Klasse

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie möglichts geschickt.

a)

\(\displaystyle \int \limits_{-1}^{3,3} 5 x^{2} \, d x-10 \int \limits_{-1}^{3,3} \frac{1}{2} x^{2} \, d x \)

b)

\(\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\left(x-2 \sqrt{x^{2}+4}\right)\, d x+2 \int \limits_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+4}\, d x \)

c)

\(\displaystyle \int \limits_{-2}^{1}(2 x)\, d x+\int \limits_{1}^{3}(2 x) \, d x \)

Problem/Ansatz:

Guten abend, ich komme mit der Aufgabe überhaupt nicht klar, daher wäre eine ausführliche Antwort wünschenswert.

Comments

Du könntst die Integrale mal auf eine lesbare Art hinschreiben.

Unten hat sich schon ein Hilfswilliger verlesen (Nachtrag: seine Antwort hat er mittlerweile korrigiert).

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Ich habe ein Bild der Funktion angehängt. Jetzt sollte es gehen.

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Wenn Du noch Mühe hast mit dem Ausrechnen, kannst Du es Dir bei c) auch so vorstellen:

Flächeninhalt blaues Dreieck minus Flächeninhalt rotes Dreieck = 5

Answer 1

\( \int\limits_{-1}^{3,3}5x^2*dx-5 \int\limits_{-1}^{3,3}x^2*dx \)=0

Comments

Wie würde man dann weiter verfahren?

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\( \int\limits_{-1}^{3,3}5x^2*dx-5 \int\limits_{-1}^{3,3}x^2*dx=5* \int\limits_{-1}^{3,3}x^2*dx-5 *\int\limits_{-1}^{3,3}x^2*dx=0 \)

Answer 2

$$\textrm{a)} \quad\int_{-1}^{3,3}5x^2\textrm{ d}x-10\int_{-1}^{3,3}\dfrac{1}{2}x^2\textrm{ d}x\: $$

Nimm die \(10\) mit ins Integral.

Comments

Wie würde man dann weiter verfahren?

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Dann würde man \(10\) mit \(\dfrac{1}{2}\) verrechnen.

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Muss man danach beide Integrale einzeln ausrechnen? Und gehört die -5 dann noch zum ersten, oder zweiten Integral? Danke schonmal

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Die hier gesuchte "möglichst geschickte" Rechnung wäre $$\int_{-1}^{3,3}5x^2\textrm{ d}x-10\int_{-1}^{3,3}\dfrac{1}{2}x^2\textrm{ d}x = \\ \int_{-1}^{3,3}5x^2\textrm{ d}x-\int_{-1}^{3,3}5x^2\textrm{ d}x = \\ 0$$ gewesen.

Answer 3

Bei a) und b) sollte dir auffallen, dass die Grenzen gleich sind. Daher kannst du allesp unter ein Integral schreiben und dann zusammenfassen.

Bei c) ist der Integrand 2x gleich und die obere Grenze des ersten Integras stimmt mit der unteren des zweiten überein. Deshalb kannst du 2x von -2 bis 3 integrieren. Da das Integral von -2 bis +2 gleich Null ist, reicht es, von 2 bis 3 zu integrieren.