dimU? von V:= Pol4C U:= L (iX, (X + i)^2, i, X^2)

Question

Hallo,

Bei dieser Aufgabe brauche ich Hilfe.Ich bin mir hinsichtlich der Begrifflichkeiten schon nicht ganz klar.

Sei U ein Untervektorraum von V mit U := L (iX, (X + i)², i, X²). V:= Pol₄C .

 Darin sind folgende Polyfonem gegeben, wenn das hier weiterhelfen sollte. 1, X −i, (X +i)² und (X −i)³

Bestimmen Sie dimU?

Answer 1

(x+i)^2 = x^2 + 2ix - 1 kann als Linearkombination der anderen

drei dargestellt werden:

...= 1*x^2 + 2*(ix) + i*i  kann also bei den Erzeugenden weggelassen werden .

Die restlichen 3 sind lin. unabh., also dim = 3.

Comments

Alles klar, danke dir! Soweit versteh ich das.

Zu den Begriffen nochmal zum Verständnis:

Ist eine Linearkombination praktisch dann wie Vektoren, die den Raum aufspanne müssen. Es sind auch manchmal zusätzliche dabei, die einfach darin liegen .

Die Dimension bestimmt sich dann aus den lin. unabhängigen, die dann praktisch so wie eine Basis sind. Also aus denen, die die zusätzlichen, die darin liegen, bilden können.

Kann eine Linearkombination auch nur aus den Basen bestehen oder ist es dann keine Linearkombination mehr sondern nur noch eine Basis?

Es ist ja nur der Untervektorraum von Pol₄. Heißt es dann nicht, dass es für eine Linearkombination mindestens vier linear unabhängige braucht, um den Untervektorraum überhaupt aufzuspannen.

Und was ist ein Erzeugendessystem im Vergleich zu der der Linearkombination?

Sorry, für diesen langen Text. Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.

Bin mir im Thema noch recht unsicher

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Ist eine Linearkombination praktisch dann wie Vektoren, die den Raum aufspanne müssen. Es sind auch manchmal zusätzliche dabei, die einfach darin liegen .    Ja !

Die Dimension bestimmt sich dann aus den lin. unabhängigen, die dann praktisch so wie eine Basis sind. Also aus denen, die die zusätzlichen, die darin liegen, bilden können.    Ja, wenn man die "zusätzlichen" rausgeschmissen hat, bildet der Rest eine Basis.

Kann eine Linearkombination auch nur aus den Basen bestehen

Du meinst vermutlich: Diejenigen, deren lineare Hülle man bestimmen

soll, können schon linear unabhängig sein, in der Tat, dann bilden sie eine

Basis und deren Anzahl ist dann die Dim.

Es ist ja nur der Untervektorraum von Pol4. Heißt es dann nicht, dass es für eine Linearkombination mindestens vier linear unabhängige braucht, um den Untervektorraum überhaupt aufzuspannen.
Nein, selbst einer alleine kann einen Unterraum aufspannen, der ist dann eben 1-dim.

Und was ist ein Erzeugendessystem im Vergleich zu der der Linearkombination?  Das was da jeweils vorgegeben ist, ist ein

Erzeugendensystem. Und alle aus diesen zu bildenden Linearkombinationen bilden die lineare Hülle.

Answer 2

Aloha :)

Schreibe die Basisvektoren als Spalten in eine Matrix und wende so lange Spaltentransformationen an, bis die linear abhängigen Vektoren übrig bleiben:

$$\left(\begin{array}{cr}& &-2S_1-S_4 & &\\\hline1: & 0 & -1 & i & 0\\ X: & i & 2i & 0 & 0\\ X^2: &0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cr} & & +iS_2&\\\hline0 & -1 & i & 0\\i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cr}0 & -1 & 0 & 0\\i & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Dimension von \(U\) ist \(3\).

Comments

Danke euch beiden für eure tollen Lösungsansätze!