Du solltest hinschreiben, dass du zeigen willst, dass die Summation bis n+1 als Resultat (n+1)((n+1)+1) / 2 = (n+1)(n+2)/2 hat.
Dann merkst du, dass du vermutlich einen Rechenfehler gemacht hast. Deine letzte Zeile nochmals:
n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 = (n^2 + n + 2n + 2) / 2 = (n^2 + 3n + 2)/2 = (n+1)(n+2)/2 q.e.d.
Oder direkter
n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 = (n(n+1) + 2(n+1))/2 = ((n+2)(n+1))/2.