Analysis Abiturübungsaufgaben: fa(x) = 3xe^{-ax} mit a>0. Was geht gegen unendlich?

Question

Es sei \( f_{a}(x)=3 x e^{-a z} \) mit \( a>0 \)

(a) Berechne Nullstellen und Extrempunkte und gib Auskunft über das Verhalten von \( f_{a}(x) \) fìr \( x \rightarrow \infty \)

(b) Gib eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der die Extrempunkte der Scharkurven liegen. Um welche Kurve handelt es sich?

(c) Skizziere den Graphen von \( f_{1} \).

(d) Gib ohne zu rechnen Auskunft über Wendepunkte des Graphen im Bereich \( x>0 \)

(e) Welches der Dreiecke mit den Eckpunkten \( (0,0),(c, 0) \) und \( \left(c, f_{1}(c)\right) \) für \( c \geq 0 \) hat den größten Flächeninhalt?

(f) Berechne

\( \int \limits_{0}^{b} f_{a}(x) d x \quad \text { fìr } b \geq 0 \)

(g) Gib Auskunft, ob das Integral aus der vorigen Teilaufgabe einen endlichen Grenzwert für \( b \rightarrow \infty \) hat, am besten, ohne dabei dein konkretes Ergebnis der letzten Teilaufgabe zu verwenden.

Answer 1

für x gegen unendlich inm Zusammenhang mit e hoch ...  und Potenzen von x
muss man eigentlich nur wissen, dass für große Exponenten bei e^x der Wert immer wesentlich
größer
als der von irgenwelchen Potenzen von x ist.

Hier  3x * e ^{- a x}   =   3x  /   e ^{a x}  und für positives a ist der Nenner wesentlich größer als der
Zähler, also geht der Bruch gegen 0.

e) Das Dreieck hat die Grundseite von (o/o) nach ( c / 0)  also Länge c
und die Höhe ist von der x-Achse bis hoch zu f(c) also
Fläche   A(c)  =  0,5 * g * h = 0,5 * c * f(c) = 1,5*x^2 * e ^{- a x} 
Und von dieser Funktion das Max. bestimmen.