1) ist völlig korrekt.
Bei 2) stellt man fest, dass die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts x=1 zwei ist, damit die Matrix diagonalisierbar ist, muss also auch die geometrische Vielfachheit von x=1 zwei sein, d.h., es müssen zwei Eigenvektoren zu x=1 existieren.
3) Prüfen wir das: zu x=1 (mit dem Gaußalgorithmus):
$$ \left( \begin{array} { l l l } { 3 } & { - 5 } & { 3 } \\ { 3 } & { - 5 } & { 3 } \\ { 3 } & { - 5 } & { 3 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { r r r } { 3 } & { - 5 } & { 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$
Daran lassen sich zwei linear unabhängige Eigenvektoren ablesen, nämlich
v1 = (1, 0, -1)
v2 = (5, 3, 0)
Zu x=2 erhält man dann genau den Eigenvektor, den du bereits ausgerechnet hast:
v2 = (1, 1, 1)
4) Damit ist der Eigenraum zum Eigenvektor x=1 zweidimensional mit der Basis {v1, v2).
Idealerweise orthogonalisiert man die noch, das ist aber nicht zwingend nötig.
Der Eigenraum zum Eigenvektor x=2 ist eindimensional mit der Basis (v3).
5) Ja. Es existieren drei linear unabhängige Eigenvektoren, also ist die Basis diagonalisierbar.
