Konvergenz bestimmen für x --> unendlich

Question

Ich habe diese Gleichung und möchte hier die Konvergenz für x gegen unendlich bestimmen:

$$ \frac { x-1 }{ x } =\quad 1 $$

Wie sollte man hier am besten vorgehen ?

$$ x-\frac { 1 }{ x } =\quad 1 $$

Für Hilfen bin ich sehr dankbar.

Comments

Ah ich Esel ;-) es ist doch dann ganz einfach:

(x-1)/x = x/x + -1/x = 1- 1/x

Dann haben wir doch 1 - 1/x = 1 da 1/x = 0 ist heißt es 1 = 1

oder nicht ? Falls ja wie wird dann eine Lösung formuliert ?

L = {1} ??

Answer 1

Du schreibst das total falsch auf.

Möchtest du zeigen,dass deine Funktion gegen 1 konvergiert,also :

$$\lim _{ x->\infty  }{ \frac { (x-1) }{ x }  } =1$$

Wobei lim = limes und der limes ist der Grenzwert.

Du machst das jetzt so:

$$\lim _{ x->\infty  }{ \frac { (x-1) }{ x }  } =\lim _{ x->\infty  }{ \frac { x }{ x } -\frac { 1 }{ x }  } =\lim _{ x->\infty  }{ \quad 1-\frac { 1 }{ x } = } \lim _{ x->\infty  }{ \quad 1-\lim _{ x->\infty  }{ \quad \frac { 1 }{ x } = } 1-0= } 1$$

Und die Lösung ist das,was du am Anfang zeigen wolltest.

Comments

Im 3. Schritt habe ich die Grenzwertsätze benutz,wie du bei dir oben auch.

So sieht das ganz Formal ausgeschrieben aus.

Answer 2

Deine Frage ist etwas konfus. Es erschließt sich mir nicht, warum und inwiefern man eine Gleichung hinsichtlich Konvergenz untersuchen sollte und warum du von einer Lösungsmenge sprichst in deinem Kommentar. Dennoch versuche ich mich mal an einer Antwort, die hoffentlich alle deine Fragen klärt.

Deine erste Gleichung

$$ \frac{x-1}{x} = 1 \tag{1} $$

hat keine Lösung. Denn ein Bruch ist genau dann \(1\), wenn Zähler und Nenner gleich sind aber

$$ x\neq x-1 $$

für alle \(x\in\mathbb{R}\).

Die linke Seite konvergiert für \( x\rightarrow \infty \) wie du richtig festgestellt hast gegen \(1\). Aber der Term kommt nur beliebig nah an 1 ran, wird also niemals 1.

Nun zu deiner zweiten Gleichung

$$ x-\frac{1}{x} = 1 . \tag{2} $$

Der Term

$$ x-\frac{1}{x} $$

strebt für wachsendes \(x\) gegen unendlich und hat dabei die Gerade \(y=x\) als Asymptote. Die Gleichung hat jedoch zwei Lösungen. Wegen \(x\neq 0\) kann man ohne Bedenken beide Seiten mit \(x\) multiplizieren und erhält so

$$ x^2 - 1 = x \quad\Leftrightarrow\quad x^2 - x - 1  = 0 $$

und diese Gleichung wird wiederum durch \(  x_{1,2} = \frac{1}{2} (1\pm \sqrt{5}) \) gelöst.

Comments

Danke ihr habt mir gut weitergeholfen. Ja ich weiß, dass das nicht richtig aufgeschrieben ist, aber dennoch danke für den Hinweis. Das mit der Lösungsmenge, konnte eigentlich nicht richtig sein. Ich wollte nur wissen, wie man diesbezüglich eine Antwort hätte schreiben müssen, aber dies hat Marvin ja schon geliefert mit 1-0 = 0, ich dachte nur, dass hier noch was hin käme aber 1 = 1 ist ja eine wahre Aussage