Konvergiert die Reihe? Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} (1/(√(n) -1) + 1/(√(n) + 1))

Question

Hallo community,

mein Gedanke bei dieser Aufgabe war, dass wenn n=2 die Folge konvergieren würde, da es ja einen Grenzwert besitzt. Das wäre 2,828..

Bei n gegen unendlich würde es gegen 0 konvergieren.

Jedoch bin ich mir mit den Annahmen nicht ganz sicher, daher wollte ich mir hier nochmal einen Expertenrat holen.

Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} (1/(√(n) -1) + 1/(√(n) + 1))

Answer 1

Das Reihenglied kann auch 2√n/(n-1) geschrieben werden. Dann ist aber die harmonische Reihe Minorante. Konvergiert nicht.

Comments

könntest du deine Umformung näher erläutern, bitte?

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Erweitere den ersten Bruch mit √n+1 und den zweiten mit √n -1. Dann steht im Hauptnenner eine binomische Formel und im Zähler √n+1 + √n -1.

Answer 2

1. Schritt: Addiere die beiden Brüche formal.

Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} (1/(√(n) -1) + 1/(√(n) + 1))

= Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} ((√(n)+1) + (√(n)-1))/((√(n) -1)(√(n) + 1))    | 3. binomische Formel

= Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} (√(n)+1 + √(n)-1)/(n-1)

= Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} (2√(n))/(n-1)

Alternative:

Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} (1/(√(n) -1) + 1/(√(n) + 1))

= Summenzeichen_(n=2)^{unendlich} (1/(√(n) -1) + Summenzeichen_(n=2)^{unendlich}  1/(√(n) + 1))

Beide Summanden divergieren gegen + unendlich (harmonische Reihe als divergente Minorante benutzen). Daher divergiert auch die ganze Summe.