Kann ich hier die Reihe einfach aufspalten und sagen dass die harmonische Reihe divergiert und deswegen auch diese …

Question

Aufgabe:

Zeige dass die Reihe ∑\( \frac{1}{2n} \) - \( \frac{1}{(2n+1)²} \) divergiert

Problem/Ansatz:

Kann ich hier die Reihe einfach aufspalten und sagen dass die harmonische Reihe divergiert und deswegen auch diese Reihe divergieren muss da die 1/n^2 Reihe konvergiert?

Answer 1

Ja, das ist richtig. Genauer

$$a_k:=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2n}, \quad b_k:=\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{(2n+1)^2}$$

Wir wissen, dass \((b_k)\) konvergiert. Wenn \((a_k-b_k)\) konvergieren würde, dann würde auch \((a_k)=(a_k-b_k)+(b_k)\) konvergieren, aber das ist ja praktisch die harmonische Reihe