Warum divergiert die Harmonische Reihe für S = 1

Question

Das hier ist die Harmonische Reihe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{S}} \)

Laut Skript divergiert die Reihe für S = 1. Aber warum ist das so?

Divergiert heißt ja, dass sie gegen + oder - unendlich geht.

Ich setzte mal ein paar Zahlen ein:

$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}...$$

Die Reihe wird doch irgendwann einen wert annehmen, da 1/unendlich gleich 0 ist. Also geht sie nicht gehen + oder - unendlich?

Es geht mir nur um das Verständnis verstehen.

Comments

siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{>}1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}+\boxed{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}+\boxed{\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{16}}+\cdots$$$$>1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\boxed{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}+\boxed{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}}+\cdots$$$$=1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{2}{4}}+\boxed{\frac{4}{8}}+\boxed{\frac{8}{16}}+\cdots$$$$=1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{1}{2}}+\boxed{\frac{1}{2}}+\boxed{\frac{1}{2}}+\cdots$$

Da die Reihe unendlich lang ist, kannst du immer Brüche auf die gezeigte Weise zu \(\frac{1}{2}\) zusammenfassen und addierst so unendlich oft \(\frac{1}{2}\) auf die \(1\).

Answer 2

"Die Reihe wird doch irgendwann einen Wert annehmen, da 1/unendlich gleich 0 ist."

Nein. Da die Reihe unendlich viele Summanden hat, gibt es eben keinen Summanden, der exakt gleich null ist.

Unendliche Reihen mit unendlich vielen positiven Summanden  a(n)  mit

\( \lim\limits_{n\to\infty} a(n) \) = 0

und  unendlichem Summenwert sind durchaus "normal", wie z.B. eben gerade die harmonische Reihe zeigt.