Zeige, dass die binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b² ein Spezialfall des binomischen Satzes ist?

Question

Ich habe eine Aufgabe in Mathe bekommen, die was mit binomialkoeffizienten und dem binomischen Satz zu tun hat. Die Aufgabe besteht aus 2 unteraufgaben:

a) Zeige, dass die binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b² ein Spezialfall des binomischen Satzes ist.

und

b) Gib mithilfe des binomischen Satzes eine Formel für die 3. und 4. Potenz eines Binoms an.

Also b kann ist einfach zu verstehen, man schreibt einfach  (a+b)(a+b)(a+b) und kürzt dann bis man

a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 hat. 

Aber wie lässt sich a erklären? Was ist so besonders an der 2 als Potenz?

Comments

Dein Resultat von b1) stimmt schon. Nur, musst du den "binomischen Satz" explizit verwenden, wenn du dafür Punkte möchtest.

Was genau steht in deinen Unterlagen unter "binomischer Satz"? Gib das zuerst an.

Davon musst du bei a) und b) dann ausgehen.

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Also in der Aufgabe steht noch der Binomische Satz an sich, also:

"Es gilt: (a+b)^n = (n über 0)*a^n + (n über 1)* a^{n-1}*b+(n über 2)*a^{n-2}*b²+...+(n über (n-1))*a*b^{n-1}+(n über n) * b^n"

MIt "n über igwas" meine ich natürlich binomialkoeffizienten.

Und ehrlich gesagt, wir haben den binomischen Satz noch nicht wirklich behandelt, nur die Standardformel (a+b)². Unsere Lehrerin hat uns diese Aufgabe gegeben und gesagt "Macht das, das wird später wichtig sein". "Toll"!

Answer 1

Setze jetzt für a) n=2 in diese Formel ein.

(a+b)ⁿ = (n über 0)*aⁿ + (n über 1)* a^n-1*b+(n über 2)*a^n-2*b²+...+(n über (n-1))*a*b^n-1+(n über n) * bⁿ

(a+b)² = (2 über 0)*a² + (2 über 1)* a^1*b+(2 über 2)*b² 

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

a) ist somit der Spezialfall n=2 des binomischen Satzes.

b) Analog vorgehen und n=3 sowie n=4 einsetzen in(a+b)ⁿ = (n über 0)*aⁿ + (n über 1)* a^n-1*b+(n über 2)*a^n-2*b²+...+(n über (n-1))*a*b^n-1+(n über n) * bⁿ"

Comments

Ja, ok, aber wieso ist das jetzt genau ein Spezialfall? Weshalb und womit unterscheidet sich n=2 von anderen Potenzen wie n=3 oder n=4?

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Jede Zahl, die du einsetzt für n, ist ein Spezialfall des binomischen Satzes.

Die Formel mit 'n' ist der allgemeine Fall.

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Oh, dann dachte ich wohl zu kompliziert. Ich dachte nämlich n=2 wäre eine ausnahme oder sowas in der Art ^^