Aloha :)
Da \(a,b>0\) gilt, können wir die Wurzel ziehen:$$0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2-2\sqrt a\cdot\sqrt b+(\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b\implies\pink{2\sqrt{ab}\le a+b}$$Zusätzlich ist \(a\le b\). Das bedeutet:$$a\le b\stackrel{(+b)}{\implies}a+b\le b+b=2b\stackrel{(\cdot a)}{\implies}a(a+b)\le2ab\stackrel{(\div(a+b))}{\implies}\blue{a\le\frac{2ab}{a+b}}$$
So vorbereitet gehen wir die Ungleichungskette an:$$\blue{a\le\frac{2ab}{a+b}}\implies a^2\le\left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2\quad\checkmark$$$$\left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2=\left(\frac{\pink{2\sqrt{ab}}\,\sqrt{ab}}{a+b}\right)^2\pink\le\left(\frac{\pink{(a+b)}\,\sqrt{ab}}{a+b}\right)^2=\left(\sqrt{ab}\right)^2=ab\quad\checkmark$$$$\pink{2\sqrt{ab}\le a+b}\stackrel{(\div2)}{\implies}\sqrt{ab}=\frac{a+b}{2}\stackrel{(\cdots)^2}{\implies}ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\quad\checkmark$$$$a\le b\implies\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\left(\frac{b+b}{2}\right)^2=\left(\frac{2b}{2}\right)^2=b^2\quad\checkmark$$
