Hier noch eine weitere Aufgabe, bei der ich gern wissen würde, ob ich es richtig gemacht habe. Falls jemand Ratschläge hat, wie man diese einfacher lösen kann (also ohne Erweiterung), wäre ich ebenfalls dankbar.
\( b_{n}=\frac{\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}-\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}}{\sqrt{2 n^{8}-17}-\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}}=\frac{A_{l}}{B_{I}} \)
\( =\frac{A_{l}\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)}{B_{l}\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)} \)
\( =\frac{\left(n^{8}+30 n^{7}+1-n^{8}-10 n^{7}-5\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)}{\left(2 n^{8}-17-2 n^{8}-100 n^{7}-3\right)\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)} \)
\( =\frac{\left(20 n^{7}-4\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)}{\left(-100 n^{7}-20\right)\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)} \)
\( =\frac{ n^{7}\left(20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{2-\frac{17}{n^{8}}}+\sqrt{2+\frac{100}{n}+\frac{3}{n^{7}}}\right) }{5 n^{7}\left(-20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{30}{n}+\frac{1}{n^{8}}}+\sqrt{1+\frac{10}{n}+\frac{5}{n^{8}}}\right)} \)
\( {n \mapsto \infty} \space \frac{ \left(20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{2-\frac{17}{n^{8}}}+\sqrt{2+\frac{100}{n}+\frac{3}{n^{7}}}\right) }{ {5\left(-20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{30}{n}+\frac{1}{n^{8}}}+\sqrt{1+\frac{10}{n}+\frac{5}{n^{8}}}\right)} } \)
\( =\frac{(20-0)(\sqrt{2-0}+\sqrt{2+0+0})}{5(-20-0)(\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0+0})}=\frac{20(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{-200}=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{10} \)
