Wurzelbruch erweitern Verständnisfrage

Question

Aufgabe:

\( \frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{12}} \) = \( \frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3•4}} \) =

\( \frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3} • \sqrt[3]{4}} \) = \( \frac{2}{\sqrt[3]{4}} \) =

\( \frac{2}{\sqrt[3]{2} • \sqrt[3]{2}} \) • \( \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} \) =

\( \frac{2\sqrt[3]{3}}{2} \) = \( \sqrt[3]{2} \)

Problem/Ansatz

Hallo, ich verstehe bei dieser Lösung den Schritt \( \frac{2}{\sqrt[3]{2} • \sqrt[3]{2}} \) • \( \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} \) irgendwie nicht. Warum multipliziert man den Bruch mit  • \( \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} \) und warum steht beim nächsten Schritt nur noch eine 2 im Nenner?

Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch.

Answer 1

Vielleicht ist es leichter zu verstehen, wenn du die Wurzeln als Dezimalzahl-Potenzen hinschreibst:

Jede Wurzel kann ja auch als Potenz hingeschrieben werden, d.h. z.B. \( \sqrt{x} \) = x^1/2 oder \( \sqrt[3]{x^2 } \) = x^2/3

Der Nenner lautet daher (nach dem Erweitern) x^1/3*x^1/3*x^1/3 ....da du die Exponenten bei der Multiplikation addieren darfst, gibt das x^1/3+1/3+1/3 = x (in deinem Fall ist x natürlich 2, ich wollte es nur allgemein erklären)

In deinem Fall bleibt also im Nenner die 2^1, und die kannst du mit dem Zähler kürzen.

Answer 2

Das Multiplizieren des Bruches mit  \( \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} \) heißt Erweitern und ist nichts anderes, als das Multiplizieren mit 1. \( \sqrt[3]{2} \)·\( \sqrt[3]{2} \)·\( \sqrt[3]{2} \)=2.

Übrigens: Die letzte Zeile sollte \(\frac{2\sqrt[3]{2}}{2} \) = \( \sqrt[3]{2} \) heißen.

Answer 3

Hallo,

der Bruch wurde mit \(\sqrt[3]{2}\), damit die Wurzel im Nenner verschwindet, denn

\(\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2\)

Gruß, Silvia