Frage zu erster Ableitung von f(x) = √(x+3) durch Grenzwertbildung. h-Methode mit erweitern.

Question

Ich hätte eine Frage zu folgendem gerechneten Beispiel. Im ersten Schritt wird die Funktion in die Formel für den Differentialquotienten eingesetzt. Das ist mir soweit klar. Aber ich verstehe den 2ten Schritt nicht. Ich komme nicht dahinter warum dort Zähler und Nenner mit (sqrt(x+3)+h - sqrt(x+3)) multipliziert. Wie kommt man darauf? Könnte mir das vielleicht jemand erläutern?

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Ich komme nicht dahinter warum dort Zähler und Nenner mit (sqrt(x+3+h) - sqrt(x+3)) multipliziert. Wie kommt man darauf? Könnte mir das vielleicht jemand erläutern?

Wenn immer du eine Differenz oder eine Summe von Wurzeln siehst, solltest du an die dritte binomische Formel denken. Es kann immer sein, dass du nach einer geschickten Erweiterung eine Unbestimmtheit rauskürzen kannst.

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Das ist mir auch erst nachher aufgefallen. Warum wird den hier das h einfach unter die Wurzel mit genommen?  Es ist ja f(x+h) ist das dann nicht sqrt(x+3)+h. Und in der vorletzten Zeile komm ich auch wieder nicht mit. h/h wird gekürzt aber das +h ist auf einmal auch wieder weck :S

Answer 1

lim (h-->0) (√(x + 3 + h) - √(x + 3)) / h

Das Problem ist das man hier einen Grenzwert vom Typ 0/0 hat, der nicht definiert ist. Ein guter Trick ist diese immer zur 3. binomischen Formel zu erweitern

Wenn √(x + 3 + h) - √(x + 3) gegen Null geht tut es √(x + 3 + h) + √(x + 3) das zum Glück nicht.

lim (h-->0) (√(x + 3 + h) - √(x + 3))·(√(x + 3 + h) + √(x + 3)) / (h·(√(x + 3 + h) + √(x + 3)))

lim (h-->0) h / (h·(√(x + 3 + h) + √(x + 3)))

lim (h-->0) 1 / (√(x + 3 + h) + √(x + 3)) = 1/(2·√(x + 3))

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Danke für die ausführliche Erklärung Mathecouch :) Hat das Lösungsverfahren vielleicht einen Namen? Macht man das bei allen 0/0 Grenzwerten so?

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Nein Das macht man hauptsächlich bei so schönen Wurzeltermen, die sich dadurch gut zusammenfassen lassen.

Eine andere Möglichkeit ist l'Hospital. Wenn ihr den noch nicht hattet werdet ihr den aber sicher noch bekommen.

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Ja, der kommt im nächsten Kapitel, nur sollten diese Beispiele ohne das nächste Kapitel l"Hospital lösbar sein, aber ich wäre alleine nie darauf gekommen um ehrlich zu sein.

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Naja. Bei zukünftigen Aufgaben denkst du halt daran. Eigentlich sollte das eventuell auch einmal im Skript vorgemacht worden sein.