Bestimmen Sie durch Grenzwertbildung die erste Ableitung von f(x) = √(x+3)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie durch Grenzwertbildung die erste Ableitung von \( f(x)=\sqrt{x+3} \).

Ansatz/Problem:

Ich habe zuerst die Gleichung in die Formel für den Differentialquotienten eingesetzt und dann gemerkt, dass es sich hierbei um einen 0/0 Limes handelt und ich dadurch die Regel von L'Hospital anwenden kann.

Also hab ich einmal den Nenner und Zähler abgeleitet, obwohl ich mir da schon nicht mehr sicher bin ob das so stimmt. Ich bin davon ausgegangen, dass h abgeleitet so wie x abgeleitet 1 ist. Sollte es jedoch bis hierhin stimmen, wie rechne ich es dann am besten aus?

\( f(x)=\sqrt{x+3} \)

\( \lim \limits_{h \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{(x+h)+3}-\sqrt{x+3}}{h}=\frac{" 0^{\prime \prime}}{0} \)

\( \lim \limits_{h \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2}(x+h+3)^{\frac{-1}{2}} * 2-\frac{1}{2}(x+3)^{\frac{-1}{2}} * 2}{1} \)

Comments

Eine Anmerkung zu deinem Ansatz:

Du sollst die Ableitung mittels Differentialquotient berechnen, verwendest hierbei unnötigerweise l'Hospital Regel, bei der du direkt die Ableitung bildest (welche aber ja eigentlich von dir berechnet werden soll) und somit gar nicht bekannt ist.

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Jetzt wo dus so sagst. Mir wäre nur irgendwie kein anderer Ansatz eingefallen da ich nicht auf den Trick mit der binomischen Formel gekommen wäre.

Answer 1

Erweitere geeignet und wende die dritte binomische Formel an.$$\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac{\sqrt{x+h+3}-\sqrt{x+3}}h$$$$=\frac{\sqrt{x+h+3}-\sqrt{x+3}}h\cdot\frac{\sqrt{x+h+3}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+h+3}+\sqrt{x+3}}$$$$=\frac1h\cdot\frac{(x+h+3)-(x+3)}{\sqrt{x+h+3}+\sqrt{x+3}}=\frac1{\sqrt{x+h+3}+\sqrt{x+3}}$$Bilde nun den Grenzwert für \(h\to0\).

Comments

Hab 1/2*sqrt(x+3) herausbekommen. Danke