(1) Symmetrie:
Entweder ist unsere Funktion punkt-, achsen- , oder unsymmetrisch.
Müssen das nun überprüfen:
Die Funktion ist offensichtlich unsymmetrisch. Ich erkläre das gleich einfachhalber, da sowohl gerade als auch ungerade Potenzen in der Funktion vorkommen: x^3-3x^1+2x^0.
Achsensymmetrie: Alle Potenzen in der Funktion sind
gerade.
Punktsymmetrie: Alle Potenzen in der Funktion sind
ungerade.
(2) Schnittpunkte:
x-Achse: Setzen f(x)=0
x^3-3x+2=0
Hier ist es etwas umständlich die Nullstellen zu bestimmt, wir gehen folgerndermaßen vor.
(a) Erraten eine offensichtliche Nullstelle: Eine ist z.b. bei x1=1
(b) Wenden nun Polynomdivision an: x^3-3x+2: (x-1) = x²-2x-2 (Habe gleich das Ergebnis hingeschrieben,
hoffe, du weißt, wie es funktioniert ;) )
(c) p-q-Formel anwenden( Kannst du bestimmt auch :) ): x2= -√3 +1 x3=√3 +1
P1(1,0) P2(-√3 +1 ,0) P3(√3 +1 ,0)
y-Achse: Setzen f(0)
Erhalten : y=2
P(0, 2)
(3) Extrempunkte:
f´(x)=0 (Die 1. Ableitung gleich 0 setzen)
3x^2-3=0 |+3
3x^2=3 | :3
x^2=1
x1= -1 , x2=1 Das sind unsere beiden Extremstellen.
Müssen jetzt noch den y-Wert berechnen (brauchen dafür die Ausgangsgleichung!!!):
f(-1)= 4
f(1)= 0
Unsere beiden Extrempunkte sind: P1(-1,4) und P2(1,0).
Um die Art der Extrempunkte zu bestimmen, musst du noch die 2. Ableitung bilden und die errechneten Extremwerte in diese einsetzen. Ist das Ergebnis >0 , dann haben wir einen Tiefpunkt oder <0, dann haben wir einen Hochpunkt. Ist das Ergebnis =0 , dann haben wir keinen Extrempunkt.
(4) Wendepunkte:
f´´(x)=0 (Die 2. Ableitung gleich 0 setzen)
Die Nullstellen bestimmen!
Diese wieder in Ausgangsgleichung einsetzen, um y- Werte zu bestimmen.
Damit haben wir unsere Wendepunkte.
3. Ableitung bilden und diese muss ungleich 0 sein. Denn nur dann exisiteren diese Wendepunkte!
