Absolute Konvergenz einer Logarithmus-Reihe

Question

ich habe mal wieder eine Reihe, bei der ich zwar zeigen kann, dass sie absolut konvergiert, aber etwas verwende, das nicht bewiesen ist.

\(\Bigg\vert\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{ln(n)}{n^3+sin(n)}}\Bigg\vert = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{ln(n)}{n^3+sin(n)}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\frac{n}{2}}{n^3+sin(n)}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{n}{2n^3+2sin(n)}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{2n^2+\frac{2sin(n)}{n}}} \le \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{2n^2-1}} \le\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}\to\frac{\pi^2}{6}\)

Kann man das auch einfacher zeigen? Wie beweise ich, dass \(ln(n)\le\frac{n}{2} \forall n\ge2\)?

Danke.

Answer 1

ln(x) ≤ x/2  für x ≥ 2   kannst du so zeigen:
f(x)  =   x/2 - ln(x) ≤ 0  für x ≥ 2

denn f ' (x) = 1/2 - 1/x = ( x-2) / 2x  > 0 für   x > 2, also
f streng monoton steigend über ] 2 ; ∞ [ und wegen f(2) = 1 - ln(2) > 0
gilt sogar   ln(x) < x/2  für x ≥ 2.

Comments

Danke, in der zweiten Zeile müsste \(f(x)=\frac{x}{2}-ln(x)\ge0\) stehen, oder?

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Ja genau, hatte ich vertippt.