Stammfunktion ableiten

Question

 

es geht um folgende Funktion:

T(x) = (-5x²-50x-250)e^-0,2x+5x

Ich muss diese Stammfunktion ableiten, um zu zeigen, dass es tatsächlich die Stammfunktion von

t(x) = x²e^-0,2x+5 ist. Ich weiß, dass für T(x) Ketten- und Produktregel benötigt werden.

Zuerst muss man e^-0,2x mit der Kettenregel ableiten, da kommt -0,2e^-0,2x raus.

Dann müsste die Ableitung der Stammfunktion so aussehen:

T'(x) = (-10x-50)*(e^-0,2x)+(-5x²-50x-250)*-(0,2e^-0,2x)

Wo bringe ich nun die +5x unter? Außerdem lässt sich das Ergebnis sicherlich vereinfachen, wobei ich auch meine Probleme habe.

Answer 1

Hallo MilchShake,

T(x) = (-5x²-50x-250) * e^-0,2x + 5x

Richtig, Produkt- und Kettenregel, außerdem Summenregel für 5x

(uv)' = u'v + uv'

u = (-5x² - 50x - 250)

u' = (-10x - 50)

v = e^-0,2x 

v' = -0,2 * e^-0,2x 

Dann ergibt sich als Ableitung des ersten Summanden

(-10x - 50) * (e^-0,2x) + (-5x² - 50x - 250) * (-0,2) * e^-0,2x | e^-0,2x ausklammern

(e^-0,2x) * (-10x - 50 + 0,2 * 5x² + 0,2 * 50x + 0,2 * 250) =

e^-0,2x * x² | die farbig markierten Terme hoben sich auf

(5x)' = 5

Damit ergibt sich insgesamt

T'(x) = e^-0,2x * x² + 5 = t(x)

Nachvollziehbar?

Besten Gruß

Comments

Ist mir noch nicht ganz klar:

Woher kommen einige Zahlen der unausgeklammerten ersten Ableitung ?

(e^-0,2x) * (-10x - 50 + 0,2 * 5x² + 0,2 * 50x + 0,2 * 250)

Einige sind ersichtlich, andere wiederum leider noch nicht.

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Dann ergibt sich als Ableitung des ersten Summanden

(-10x - 50) * (e^-0,2x) + (-5x² - 50x - 250) * (-0,2) * e^-0,2x | e^-0,2x ausklammern

Der rote Teil wird natürlich zu

(e^-0,2x) * (-10x - 50

Das e^-0,2x aus dem blauen Teil findet sich jetzt schon vor der "langen" Klammer.

Multiplizieren wir also

+ (-5x² - 50x - 250) * (-0,2)

aus:

+ (-5x²) * (-0,2) = + 5x² * 0,2 = +x² 

+ (-50x) * (-0,2) = + 50x * 0,2 = +10x

+ (- 250) * (-0,2) = + 250 * 0,2 = + 50

Also ergibt sich insgesamt

(e^-0,2x) * (-10x - 50 + x² + 10x + 50)

Jetzt klarer?

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Perfekt, vielen Dank, hab es verstanden :)

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Das freut mich!

Sehr gern geschehen - und danke für den Stern :-D

Answer 2

5x -----> 5! Das ist die Ableitung von 5x!